Numeros reales

Antes de comenzar a discutir el desarrollo histórico del sistema de números reales es útil considerar lo que un número es. Tal vez el lector podría pensar que esto es una pregunta tonta y que es "evidente" que un número es. Bueno, la primera evidencia clara de que esto no es así es el hecho de que el concepto de número ha cambiado mucho a lo largo del desarrollo de las matemáticas hasta nuestrosdías. Lo que es igualmente claro es que no hay ninguna razón, aparte de la vanidad, de creer que el actual concepto de número no va a cambiar en el futuro. Wittgenstein, en Investigaciones filosóficas escribe: -

¿Por qué llamamos algo un "número"? Bueno, tal vez porque tiene una relación directa con varias cosas que hasta ahora han sido llamados número; y esto se puede decir que le dan unarelación indirecta a otras cosas que llamamos el mismo nombre. Y extendemos nuestro concepto de número como en girar un hilo torcemos fibra en fibra. Y la fuerza de la rosca no reside en el hecho de que algunos una fibra corre a través de toda su longitud, pero en la superposición de muchas fibras. Pero si alguien quería decir: "Hay algo común a todas estas construcciones - a saber, la disyunción detodas sus propiedades comunes" - que debo responder: "Ahora sólo está jugando con las palabras Uno podría también decir: 'Algo atraviesa. todo el hilo - es decir, la superposición continua de esas fibras. "

"Muy bien: el concepto de número se define para usted como la suma lógica de estos conceptos interrelacionados individuales: números cardinales, números racionales, números reales, etc .; y, dela misma forma en que el concepto de juego es la suma lógica de un correspondiente conjunto de sub-conceptos ". - No tiene que ser así. Porque yo puedo dar los límites rígidos concepto de "número" de esta manera, es decir, utilizan la palabra "número" de un concepto limitado de forma rígida, pero también se puede utilizar para que la extensión del concepto no está cerrada por una frontera. Y estaes la forma en que usamos la palabra "juego". Porque, ¿cómo está delimitado el concepto de un juego?

Deberíamos empezar una discusión de los números reales examinado los conceptos de magnitud y el número en la antigüedad griega. El primero de estos pueden referirse a la longitud de una línea geométrica mientras que el segundo concepto, es decir, número, se pensó como compuesto de unidades.Pitágoras parece haber pensado que "Todo es número"; así que lo que era un número de Pitágoras? Parece claro que Pitágoras hubiera pensado en 1, 2, 3, 4, ... (los números naturales en la terminología de hoy) de una forma geométrica, no como longitudes de una línea como lo hacemos nosotros, sino más bien en la forma de puntos discretos. Suma, resta y multiplicación de números enteros son conceptosnaturales con este tipo de representación, pero no parece haber habido ninguna noción de división. Un matemático de este período, dado el número 12, fácilmente pudo ver que 4 es un submúltiplo de él desde 3 veces 4 es exactamente 12. Aunque para nosotros esto es claramente la misma que la división, es importante ver la distinción. Hemos utilizado la palabra "submúltiplo" por encima, por lo que hay queindicar lo que los pitagóricos consideraban que esto sea. Nicómaco, siguiendo la tradición de Pitágoras, hace la siguiente definición de un submúltiplo: -

El submúltiplo, que es, por su naturaleza, el más pequeño, es el número que cuando se compara con el mayor puede medir más veces de un fin de llenarlo exactamente.

Magnitudes, siendo las entidades distintas de los números, tenía que tener unadefinición independiente y de hecho Nicómaco hace una definición tan paralelo para magnitudes.

La idea de Pitágoras que "todo es número" se explica por Aristóteles en Metafísica: -

[En la época de Pitágoras] ya todas las demás cosas parecían en todo su carácter para ser el modelo de los números, y los números parecían ser las primeras cosas en toda la naturaleza, pensaron los elementos de...