Numeros

CAPÍTULO

1
1.1 NÚMEROS NATURALES

Números

Podemos decir que la noción de número nació con el hombre. El hombre primitivo tenía la idea de número natural y a partir de allí, a lo largo de muchos siglos e intenso trabajo, se ha llegado al desarrollo que actualmente posee el concepto de número. Con los números expresamos cantidades y también medidas pudiendo además operar con ellos. En eldesarrollo de este capítulo recordaremos los distintos conjuntos numéricos y las operaciones que con ellos se pueden realizar, como también sus propiedades.

Recordemos que el conjunto de los números naturales N está constituido por los números 1,2,3,4,5,..., 100,...,.n...., con los cuales contamos, ordenamos y realizamos las operaciones de suma y multiplicación, siendo el resultado de estasoperaciones también un número natural, sin embargo no ocurre lo mismo con la resta y con la división. El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características • • • • • Es un conjunto infinito. Tiene primer elemento, no tiene último elemento. Todo número natural tiene un sucesor, es decir, cada número natural, tiene un consecutivo. Todo número natural, salvo el uno, tiene antecesor.Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por eso se dice que el conjunto es discreto.

Por ser un conjunto ordenado, es posible representar a los números naturales en una recta, eligiendo como origen el cero, que puede ser incluido también en el conjunto, usando en ese caso el símbolo N0 para denotarlo.

1.1.1 Múltiplos y divisores
Hemos visto en los cursosiniciales de matemáticas que la multiplicación es una suma de términos iguales y puede escribirse de manera comprimida o abreviada: a + a . + ... + a = n × a 1 4 4 2 4 43
n veces

Ejemplo: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 8 × 3 = 24

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En ese caso decimos que 24 es múltiplo de 3 y que 24 es múltiplo de 8, o lo que es lo mismo: 3 es divisor de 24 y 8 es divisor de 24. Definición: a es múltiplode b si es posible encontrar un número natural k, tal que se cumple: a = k ⋅b Si a es múltiplo de b, la división a ÷ b tiene resto cero, por lo tanto decimos indistintamente:

• • • •

a es múltiplo de b b divide a a b es factor de a a es divisible por b

Son resultados inmediatos de la definición: 1 es divisor de todos los números pues: a = 1 ⋅ a 0 es múltiplo de todos los números pues 0 =0 ⋅ a

En nuestro ejemplo son equivalentes las proposiciones: • 24 es múltiplo de 3 • 3 divide a 24 • 3 es factor de 24 • 24 es divisible por 3 Queda para el lector escribir proposiciones equivalentes, similares a las anteriores que correspondan para el caso de los números 24 y 8.

EJERCICIOS
1. ¿252 y 588 son múltiplos de 7? ¿La suma de ellos es múltiplo de 7? ¿Y su diferencia 2. Parapensar.... a) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su divisor más pequeño? ¿y el mayor? b) Si un número es divisor de otro, ¿también lo es de los múltiplos de éste? ¿Por qué? c) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su múltiplo menor? ¿y el mayor? d) La suma de varios múltiplos de un número ¿también es múltiplo de dicho número? Si es verdad, demuéstralo; de lo contrario da un contraejemplo.3. a) Enunciar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6,8, 9,11 b) Escribir Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda:

V ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ Si un número es divisible por 6, entonces, es divisible por 3. Si un número es divisible por 3, entonces, es divisible por 6. Si un número es divisible por 3 y por 5, entonces, es divisible por 15. Si un número es divisible por 7, entonces, no esdivisible por 2. Si un número no es divisible por 4, entonces, no es divisible por 2. Si un número es divisible por 16, entonces, es divisible por 8 y por 4.

F

c) El número de pollos de un criadero es menor que 1000. Si los agrupamos de a 5, de a 6, de a 9 o de a 11, siempre sobra 1. ¿Cuántos pollos hay en el criadero?

1.1.2 Números primos y compuestos
La cantidad de divisores que tiene un...