numeros

NÚMEROS
NÚMEROS REALES
A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los
denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números.
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }
Si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y a . b ∈ N .
No es cierto en general que si a , b ∈ N entonces a - b ∈ N . Esto ocurre si y sólo si b < a .
Ejemplo: 1 - 1 = 0 ∉ N1 - 2 = -1 ∉ N
3 - 1 = 2 ∈ N
Indicamos con
N-
= {- a / a ∈ N } o sea N
-
= {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...}
N0 = N ∪ {0}
Observamos que:
Š a ∈ N si y sólo si - a ∈ N
-

Š N ∩ N
-
= ∅
Definimos al conjunto de los números enteros como
Z = N -
∪ {0} ∪ N
Los naturales se identifican con los enteros positivos, es decir N ⊂ Z
Ejercicio 1 : ¿Existe un número entero que sea menor oigual que todos los demás?, y ¿mayor o
igual que todos los demás?.
Ejercicio 2 : ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3?; ¿y entre 5 y 6?; ¿y
entre n y n + 1 ?. Curso de Apoyo en Matemática
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Ejercicio 3 : ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10?; ¿y entre -3 y 7?.
Ejercicio 4 : ¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen entre dos enterosdados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?.
Observemos que:
Š b ∈ Z implica - b ∈ Z
Š a , b ∈ Z implica a + b ∈ Z

a , b ∈ Z implica a - b ∈ Z pues: a - b = a + (- b) ; como - b ∈ Z ; por lo
anterior resulta a + (- b) ∈ Z .
Š a , b ∈ Z implica a . b ∈ Z
Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0 . Existen enteros únicos q , r tales que b = a . q + r con 0 ≤ r < a
Ejemplo:
a) Parab = 84 , a = 45 resulta q = 1 , r = 39 pues 84 = 45 . 1 + 39
b) Para b = 84 , a = - 45 resulta q = - 1 , r = 39 pues 84 = (- 45) . (- 1) + 39
c) Para b = - 84 , a = 45 resulta q = - 2 , r = 6 pues - 84 = 45 . (- 2) + 6
d) Para b = - 84 , a = - 45 resulta q = 2 , r = 6 pues - 84 = (- 45) . 2 + 6
Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b (o que b es múltiplo de a , o que b
esdivisible por a , o que a es divisor de b ).
Ejemplo: 2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3
5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que multiplicado por 5 dé 12.
Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor
entre a y b, es el producto de los factores comunes, con el menor exponente. Se denota mcd (a , b).
Recordemos que un número entero positivo a esprimo si tiene exactamente cuatro divisores: 1,
-1, a y -a.
Ejemplo: Algunos números primos son 2 , 11 , 463 Números
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Ejemplo: Si a = 72 y b = 84 resulta
72 2 84 2
36 2 42 2
18 2 21 3
9 3 7 7
3 3 1
1
72 = 23
. 32
84 = 22
. 3 . 7
mcd (72 , 84) = 22
. 3 = 12
o sea 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.
Si se descomponen dos enteros positivos a yb en sus factores primos, el mínimo común múltiplo
entre a y b es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
Se denota mcm (a , b)
Ejemplo: Tomando los números del ejemplo anterior resulta
mcm (72 , 84) = 23
. 32
. 7 = 504
o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.
No es cierto en general que si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z . Por ejemplo1 : 2 = 2
1
∉ Z .
Llamamos número racional a todo número que se puede expresar como fracción
m
n donde n y
m son enteros y m ≠ 0.
Con Q denotamos la totalidad de los números racionales.
Observemos que:
Š Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z escribimos m =
1
m
∈ Q . Es decir Z ⊂ Q
Š La recíproca es falsa, por ejemplo, 2
1
∈ Q pero 2
1
∉ ZCurso de Apoyo en MatemáticaPágina 6
Si u , v ∈ Q entonces:
Š u + v ∈ Q
Š u - v ∈ Q
Š u . v ∈ Q
Š Si u ≠ 0 entonces
u
1
∈ Q
Ejercicio 5 : ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?; y ¿mayor o
igual que todos los demás?.
Ejercicio 6 : Hallar un número racional entre
3
2
y 7
3 . Hallar un número racional entre
3
7
y 3
8 .
¿Puede hallarse más de un número racional con esta...