NumerosComplejos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN
DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS
Y DE LAS INGENIERÍAS
INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA

APUNTES

ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS
EJE
IMAGINARIO
i

w

3=

2C

o
5
2
0
1
s
2 Ci
w2 =
1

is1
95 o

-2

0

-1
-1
-2

w 4=

o
5
1
s
i
2C

w1 =
2
1
o
5
8
2
is
2C

EJE
REAL

i'

Ing. Francisco Raúl Ortíz González
,2008.ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS

APUNTES

Surge de la necesidad de que el alumno de ingeniería pueda utilizarlo
como una herramienta de apoyo para el estudio de la materia de Álgebra en
el TEMA II, denominado “NÚMEROS COMPLEJOS” del programa actual, así
como de materias afines.

Cumple con el objetivo de dicho tema en lo referente a la adquisición
de destreza en el manejo formal de los números complejos en susdiferentes
representaciones, para aplicarlos en la resolución de ecuaciones con una
incógnita que involucren a dichos números.

Y por último, quiero dar las gracias al M. en I. Alberto Reyes Solís por
sus observaciones tan atinadas para la realización de este texto.

ATENTAMENTE

Ing. Francisco Raúl Ortíz González
,2008.

Ing. Francisco Raúl Ortíz González.

ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS

APUNTESCONTENIDO

Pág.

1. INTRODUCCIÓN
1.1. ORÍGENES

2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS

1
1

2.4.1. OPERACIONES ALGEBRAICAS
2.4.1.1. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
2.4.1.2. DIVISIÓN o COCIENTE
2.4.1.3. POTENCIA ENÉSIMA DE Z
2.4.1.4. RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS
2.4.1.5. EJERCICIOS

2
2
3
3
6
6
6
7
7
7
9
12
14
15
20
20
21
22
23
24
26
34
34
34
35
35
36
37

3. BIBLIOGRAFÍA

43

2.1 FORMA BINÓMICA
2.1.1. EL CONJUGADO DELNÚMERO COMPLEJO
2.1.2. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA “i”

2.2. OPERACIONES ARITMÉTICAS
2.2.1. SUMA o ADICIÓN
2.2.2. RESTA o SUSTRACCIÓN
2.2.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
2.2.4. DIVISIÓN o COCIENTE
2.2.5. POTENCIA ENTERA “n” POSITIVA
2.2.6. EJERCICIOS

2.3. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA
2.3.1. FORMA GENERAL
2.3.2. FORMA BINÓMICA a FORMA POLAR
2.3.3. OPERACIONES ALGEBRAICAS
2.3.3.1. MULTIPLICACIÓNo PRODUCTO
2.3.3.2. DIVISIÓN o COCIENTE
2.3.3.3. EL INVERSO MULTIPLICATIVO
2.3.3.4. POTENCIA ENÉSIMA DE Z
2.3.3.5. RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS
2.3.4. EJERCICIOS

2.4. FORMA EXPONENCIAL o DE EULER

Ing. Francisco Raúl Ortíz González.

i

ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS

APUNTES

1. INTRODUCCIÓN
En ocasiones los resultados de muchas ecuaciones cuadráticas no pertenecen al
conjunto de los números reales(R). Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación:

x 2 + x + 1 = 0 que pertenece a la forma general ax 2 + bx + c = 0 . Donde: a = 1,
b = 1 y c = 1 son los coeficientes, siendo c el término independiente.
También esta expresión matemática es un trinomio cuadrático primo, por lo que
no se puede factorizar. Para ello se emplea la fórmula cuadrática para poder resolverla.

x1, 2 =

− b ± b 2 −4ac
que al sustituir los valores resulta lo siguiente:
2a

− 1 ± (1) 2 − 4(1)(1)
−1± − 3
−1± 1− 4
x1, 2 =
=
=
2
2
2(1)
Por lo que:

x1 =

−1+ − 3
2

y

x2 =

−1− − 3
2

Donde x1 y x2 deberían ser la solución de dicha ecuación cuadrática, sólo que el
valor de

− 3 no existe en el conjunto de los números reales. Durante muchos años se

consideró que los números como:

−2,

−3,

−4 y

− 9 no teníansentido, ya que

no existía un número real cuyo cuadrado sea igual a – 3, por lo que
considerado como un número real.

− 3 no podía ser

1.1. ORÍGENES

Los grandes matemáticos de la antigüedad descubrieron que el sistema de
números reales estaba de cierta manera incompleto, esto a consecuencia de que al
tratar de obtener la solución de ciertas ecuaciones cuadráticas tal como:

x2 − 2x + 2 = 0
Elresultado de x1 y x2 , no se encontraba dentro de los números reales (R), ya
que: x1 = 1 +

−1 y

x2 = 1 –

− 1 no existían.

Ing. Francisco Raúl Ortíz González

1

ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS

APUNTES

Para ello en el siglo XVII, René Descartes (1596-1650), llamó números
imaginarios a todo aquel número real negativo que se encontrara en el interior de un
radical.
Después de esta declaración, los...