Numerosreales CALCULO

1

LOS NÚMEROS REALES

Los número 1,2,3… se denominan números naturales. El conjunto de los números naturales se
representan con la letra N, así
N = {1,2,3K}
Si se suman dos números naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado no
necesariamente es un número natural. Los número enteros representados por Z y dados por
Z = {K,−3,−2,−1,0,1,2,3K}
son cerrados bajo lasoperaciones de suma, resta y multiplicación, esto quiere decir que si
multiplicamos dos número enteros el resultado es entero. Sin embargo los números enteros no son
cerrados bajo la división, es decir que si dividimos dos números enteros el resultado no necesariamente
es un número entero.
Los números racionales, Q, expresados de la forma

n
, donde n, m son números enteros con
m

m distinto de cero, escerrado bajo las cuatro operaciones. Sin embargo no contempla todos los
números que podemos conseguir. Por ejemplo 2 π que es el perímetro de una circunferencia de radio
1, no es un número racional. Tampoco 2 ≈ 1.41K es un número racional, este número representa la
solución de la ecuación h 2 = 2 y es un número que está en la naturaleza pues él es la longitud de la
hipotenusa de un triángulorectángulo con los dos catetos iguales a 1. Estos números que no son
racionales, pues no pueden ser expresados de la forma

n
se llaman números irracionales. Una
m

diferencia entre los números racionales y los irracionales está dada en su representación decimal. Los
números racionales pueden ser representados por números decimales que terminan (
números decimales que se repiten indefinidamente (

1
=0.25 ) o por
4

1
1
= 0.16666K ,
= 0.09090K ). En cambio
6
11

los números irracionales son representados por números decimales que no terminan y que no tienen
ninguna periodicidad es decir que no tienen ninguna secuencia que se repita.
Los números reales son la unión de los números racionales e irracionales.
irracional y por tanto real.

2 es un número

Ejemplo 1.- Diga cuales de los siguientesnúmeros son naturales, enteros, irracionales, racionales y
reales: a) -3; b) − 4 ; c) 0.2 ; d) π +1; e) 101.
3
Solución:
a) -3 es un número entero, también es racional pues puede ser escrito como − 3 y es real.
1
4
4
−
b) − es un número racional pues puede ser escrito como
. También es real
3
3
c) 0.2 es un número racional pues puede ser escrito como 2 . También es real.
10

2

π +1

es irracional.Observe que como π es irracional su expansión decimal es infinita no
periódica al sumarles 1 da como resultado un número cuya expansión también es infinita no
periódica. Es un número real
e) 101 es natural, entero, racional y es real.

d)

Ejercicio de desarrollo.- Diga cuales de los siguientes números son naturales, enteros,
irracionales, racionales y reales:
a) 3π
b)

2+2

c) - 3.1

Los númerosreales pueden ser representados en la recta real. Para ello se traza una línea recta
y se escoge arbitrariamente un punto en ella, él cual representará el número 0. Se escoge una unidad de
medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a la derecha, los
puntos medidos representan los números enteros en el orden dado en la figura. Los puntos a la derecha
del 0representarán los números positivos y a la izquierda están representados los números negativos.
Para representar geométricamente a los números racionales podemos valernos de su forma mixta: a bc

b
13
3
, por ejemplo el número
puede ser escrito como 2 .
c
5
5
13
3
= 2 está a 3/5 unidades de distancia a la derecha del 2. La
Ahora es claro que el número
5
5
1
10
10
representación del número −
essimétrica con respecto al origen del número
= 3 . Hay
3
3
3
con b
métodos precisos para representar los números irracionales a través de construcciones geométricas, sin
embargo en este texto se harán representaciones no muy exactas de estos números a través de los
primeros dígitos de su representación decimal.

Ejercicio de desarrollo: Represente aproximadamente los...

Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.