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Método de Gauss-Seidel
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a losmatemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz(cuadrada, naturalmente pues para que exista solución el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo segarantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.
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Descripción
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximacióninicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

donde:

Elmétodo de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración :

donde

definimos

y
,
donde los coeficientes de la matriz N se definen como si , si .
Considerando el sistema con lacondición de que . Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método
(*)
La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizanhasta completar las iteraciones.
Convergencia
Teorema: Suponga una matriz es una matriz no singular que cumple la condición deó .Entonces el método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistemade ecuaciones, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi. |
Para ver los casos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de lasiguiente forma:
(**)
(el término es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de escribir la iteración es la forma general de un método iterativo estacionario....