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Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar:  ={1,2,3,4...}


Con los números naturales   se puede sumar. De hecho, con la operación suma, losnaturales forman un semigrupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
El infinito de los números naturales se denomina infinitonumerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivasde un número  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerablescomo se verá más adelante.
El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe unarelación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que doselementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales,  e , o bien , o bien.
Todo subconjunto  no vacío del conjunto de losnaturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento  tal que para todo  de  se tiene . 
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.
Losnúmeros racionales

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),
={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }
Los racionales se obtienen a partir delos enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
Dosnúmeros racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc. 

   (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros) 
Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción...