Número imaginario

Número imaginario
En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo:  es un número imaginario, así como  o  son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de-1 :1 2 3

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a  el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que  era una especie de anfibio entre el ser y la nada.
En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad deuna corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.
Índice
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1 Historia
2 Interpretación geométrica
3 Propiedades
4 Usos
5 Véase también
6 Referencias
Historia[editar]
Cronología4
Año
Acontecimiento
1572
Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios.
1777
Leonhard Euler utiliza el símbolo “i” para representar la raíz cuadrada de -1.
1811
Jean-Robert Argand crea larepresentación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de Argand
Interpretación geométrica[editar]

Rotaciones de 90-grados en el plano complejo
Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano complejo, presentándolos como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números imaginarios es el considerar una recta numérica típica, que aumentapositivamente hacia la derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje de coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como , , o simplemente . En esta representación, unamultiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen. Una multiplicación por  corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección "positiva" (en el sentido antihorario), y la ecuación  puede interpretarse diciendo que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado final es equivalente a una simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación de 90grados en la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación. Esto refleja el hecho que  es también una solución de la ecuación . En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.
Propiedades[editar]
 (se repite elpatrón
de la zona azul)










 (se repite el patrón
de la zona azul)
Todo número imaginario puede ser escrito como  donde  es un número real e  es la unidad imaginaria, con la propiedad
,
puesto entonces:

que es un número real.
Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina tambiénconstante imaginaria.
Del mismo modo, partiendo de:

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario, así por ejemplo:

Estos números extienden el conjunto de los números reales  al conjunto de los números complejos .
Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados deacuerdo a su valor.5 Es decir, es justo decir que , y que . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:
Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que , , por lo tanto, , entonces tenemos que , y obviamente .
Por...