Números Aureos

Número áureo

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Número áureo
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea,
proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en
mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:[2]

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),[3] por ser laprimera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque
encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no
periódico) que posee muchas propiedades interesantes y que fue
descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como
El número áureo surge de la división en dos de un
relación o proporción entresegmentos de rectas. Esta proporción
segmento guardando las siguientes proporciones: La
se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la
longitud total a+b es al segmento más largo a como a
naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las
es al segmento más corto b.
nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las
ramas, en el caparazón de un caracol, enlos flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso
creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de
diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos
de lasmatemáticas y el arte.

Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más
largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total a+b es al segmento a como a es al segmento b.
Matemáticamente escrito:
El cociente

es el valor del número áureo: φ.

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir unsegmento en otros dos, de forma que, al dividir la
longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:

multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:

Igualamos acero:

Número áureo

2

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación

.

Historia del número áureo
Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria
de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el númeroáureo fuera
utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura
compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda
afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero
este no es el caso de muchas hipótesis quedefienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario
Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.[4]
El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la
siguiente manera:
"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayorcomo el segmento mayor es al segmento menor.
Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.
Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir, es
un número irracional.
Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces se le atribuye
el desarrollo de teoremas relacionados...