Números Complejos

NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN
Dentro del campo de los número reales podemos hallar números x tales que x2 = a, si a > 0. Pero que sucede cuando a < 0. No existe ningún número real que satisfaga esta ecuación pues, el cuadrado de todo número real es siempre positivo o cero. Por tanto, para resolver la ecuación debemos ampliar el sistema numérico o incluir expresiones semejantes a i =-1, tal que i2 = -1. Esta expresión es llamada número imaginario o unidad imaginaria. Podemos entonces investigar el conjunto de números de la forma a + bi (llamados números complejos), donde a y b se elige n del conjunto de números reales. Estos números son parejos de números reales (a,b), donde el símbolo i sirve solamente para conservar separados dos números. Esto es, si designamos por C adicho conjunto entonces:

C = (a,b) = a+bia, bR i2 = -1

La combinación de los números complejos con los números reales se llama sistema de números complejos. Entonces a semejanza con el estudio desarrollado en forma axiomática de los números reales comenzaremos por definir este sistema en función de los números reales.

Ecuaciones sin solución en R
Definición: Llamaremos númeroscomplejos a todo por ordenado de números reales el cual denotaremos por Z = (a,b).
Al conjunto de los números reales complejos denotaremos por:

Definición:
La parte real de un número complejo es su primera componente y la parte imaginaria es su segunda componente, luego tanto la parte real como la parte imaginaria de un número complejo son únicos reales. Si Z = (a,b) es un númerocomplejo, entonces la parte real de Z = (a,b) denotaremos por Re (Z) = a y la parte imaginaria de Z = (a,b) denotaremos por Im (Z) = b
Consideremos una ecuación sin raíces reales: , es decir: = , esto es debido a que o luego
Generalizando: Consideremos la ecuación ax2 + bx + c = 0, a 0, con coeficientes reales, no tiene solución en R. Si el ***** es menor que cero, es decir b2 – 4ac < o.
Luegopara resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0, ampliaremos a otro conjunto llamado el conjunto de los “números complejos”.

El plano complejo:
Entre los números complejos y los puntos del plano cartesiano, existe una correspondencia biunívoca, de tal manera que todo número complejo Z = (a,b), se puede representar geométricamente por un segundo ovientado (flecha), que tiene su origen, en elorigen de coordenadas y su extremo en el punto (a,b).

0 Z = (a,b)

0 a

Definición:
Un número complejo es real, si y solo si, su parte imaginaria es cero; un número complejo es imaginario pero, si y solo si, su parte real es cero. Es decir Z = (a,b) un número complejo real Im (Z) = b = 0. imaginario puro Re(Z) = a = 0 .
Ejemplo: Determinar analíticamente ygráficamente los complejos Z = (x,y), tal que verifiquen
1. Re (Z) = 5.
Sea Z = (x,y) un número complejo, entonces Re(Z) = x pero como Re(Z) = 5, entonces x = 5 es una recta paralela al eje que ordenadas que para por el punto de abscisa x = 5

y

Re(Z) = 5

0 5 x

2. Im (Z) 4

Sea Z = (x, y) unnúmero complejo entonces Im(Z) = y pero como Im(Z) 4 entonces y < 4, que corresponde al semiplano que contiene el origen, cuyo borde es la recta de la ecuación y = 4

y
4

0 x

Im(Z) 4

3. Im(Z) + Re(Z) = 3
Sea Z = (x,y) un número complejo de donde Re(Z) = x Im(Z) = y, pero como Re(Z) + Im(Z) = 3 entonces x + y = 3 quenos representa la recta que pasa por los puntos (3,0) (0,3).


y


3 Re(Z) + Im(Z)= 3

0 3 x


4. -1 Re(Z) 1 -1 Im(Z) 1
Sea Z=(x,y) un número complejo de donde Re(Z)= x Im(Z) = y pero como –1 Re(Z) 1 -1 Im(Z) 1 entonces -1 x 1 -1 y 1.
y...