Números Complejos

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1 Números Complejos
1.1 Definición y origen de los números complejos.
Un número complejo es una expresión de la forma z=a+bi. A 'b' se le llama parte imaginaria y 'a' recibe el nombre de parte real. La letra i se llama unidad imaginaria y verifica que i2=-1. También puede definirse como el par ordenado (a,b).


1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.La suma de dos números complejos es otro número complejo que tiene como parte real la suma de las partes reales y como parte imaginaria la suma de las partes imaginarias.

Si tenemos dos números complejos a+bi y c+di, el producto y el cociente se definen de la siguiente forma

 


1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.
potencias
Potencias de la UnidadImaginaria:








Para encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria “i” cogemos su exponente, y lo dividimos entre 4, y el resto siempre que va a se menor que 4 , será el valor que buscamos.
Ejemplo: 
   
Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto
1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo.

FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO:
Elcomplejo a + bi se puede representar como r ( cos (  ) + i sen (  ) )
o en su forma abreviada r c i s (  ) , donde:
r =  ( a 2 + b 2 ) y tg (  ) = b / a
 = tg – 1 ( b / a ) , si a  0
 = 180º + tg – 1 ( b / a ) , si a  0
 = 90º , si a = 0 y b  0
 = 270º , si a = 0 y b  0

Sean z = r( cos (  ) + i sen (  ) ) y
w = R ( cos (  ) + i sen (  ) ) , entonces:

z w =  ( cos (  ) + i sen (  ) )
donde  = r R y  =  + 

z – 1 = r – 1 ( cos (  ) – i sen (  ) ) ; r  0

z / w =  ( cos (  ) + i sen (  ) )
donde  = r / R ( R  0 ) y  =  – 

z n = r n ( cos ( n  ) +i sen ( n  ) ) ( Teorema de De Moivre )

z 1 / n = r 1 / n ( cos (  ) + i sen (  ) )
donde  = (  + 360º  k ) / n y k = 0 , 1 , 2 , 3 ,....., n – 1

1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada fórmula de Moivre:
(cos +i sen )n = cos(n) + i sen(n)
que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos(n) y sen(n) en función de sen y cos

POTENCIA DE UN COMPLEJO EN FORMA BINÓMICA
Sea z = a+bi y n un número natural, teniendo en cuenta el desarrollo del binomio de Newton


1.6 Ecuaciones polinómicas
La forma general de la ecuación polinómica de grado n es:  a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x +  an = 0Las ecuaciones de grado n tienen siempre n soluciones (o raíces).  En casos particulares, algunas o todas estas n soluciones pueden ser iguales entre sí.
Si los coeficientes ai son números reales, entonces las soluciones pueden ser números reales o complejos.  (Cualquier combinación, con la siguiente restricción: si una de las soluciones es compleja, su conjugada también es solución.  Esto implicaque las soluciones complejas vienen por parejas y por tanto las ecuaciones de grado impar tienen al menos una solución real).
Ecuaciones de primer grado:
ax + b = 0
Una solución:

Ecuaciones de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0

Dos soluciones:

y

Ecuaciones de tercer grado:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
Primera solución (de tres):

Segunda solución (de tres):

Tercera solución (detres):
 

Ecuaciones de cuarto grado:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

2 Sistemas de Ecuaciones Lineales

2.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

Diremos que un sistema de ecuaciones es un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas si y sólo si cada ecuación del sistema es una ecuación lineal.


Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es
simplemente un...