Números estelares- bi matemática

NÚMEROS ESTELARES

El objetivo de este trabajo es considerar las figuras geométricas que llevan a números especiales, en este caso primero se trabajará con números triangulares y luego con números estelares.

Los números triangulares son aquellos que pueden ser representar en la forma de un triangulo equilátero, es decir que el numero triangular se pueda reorganizar en igual numero de puntospor ejemplo y de esta manera formar un triangulo equilátero. Los siguientes son ejemplos de números triangulares:

U1= 1 [pic]

U2= 3 [pic]

U3= 6 [pic]

U4=10 [pic]

U5=15 [pic]

Para poder completar esta progresión con tres términos más, lo que se debe hacer es tomar a cada uno de ellos como una sumatoria individual, en la cual, siempre el primer término será 1.

U1=S1= 1

U2= S2= 3= 1+2

U3= S4= 6 = 1+2+3

U4= S4= 10 = 1+2+3+4

Tomando este procedimiento, se puede ver que la sucesión comprendida en cada término es del tipo aritmética, ya que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, en este caso la diferencia es de 1.

Sucesión 1, 2, 3, 4,…n

d=1

U1=1

Sn = n/2 [2u1 + (n – 1) . d]

Sn = n/2 [2 . 1 +( n – 1) .1]

Sn= n/2 (1+n)

Sn= 1/2n +1/2n2

Esta función encuadrada es la proposición general que representa al enésimo número triangular en función de n, con la cual se puede obtener los términos deseados.





S6 = [pic] ( 1+6). 1 = [pic] .7 = 21 = U6







U7= [pic] ( 1+7). 1 = [pic] .8 = 28 = U7







U8 = [pic] ( 1+8). 1 = [pic] .9 = 36 = U8

Comosegundo punto es posible trabajar con los números p-estelares, en los cuales, para poder encontrar la secuencia de términos en las figuras estelares presentes a continuación, el proceso no difiere en gran medida del utilizado previamente con las figuras triangulares.

Primero se tomarán las figuras estelares con seis puntas, es decir con números 6-estelares, cuyos primeros cuatro valores son lossiguientes:

S1=



S2=





S3=









S4=







Cada uno de los términos está compuesto por la sumatoria de los vértices de las distintas etapas de los mismos.

S1= 1

S2= 1+12

S3= 1+12+24

S4= 1+12+24+36

Pero al analizar estas figuras, se encuentra el problema de que esta sucesión no es aritmética, ya que la diferencia entre sus términos no siempre esla misma, sino que esta comienza siendo 11, y luego se convierte en una diferencia constante de 12. Para solucionar este inconveniente, lo que se podría hacer en este caso es, tomar al segundo término de cada sumatoria como el primero, y luego sumarle el término 1.

El otro problema que surge es que al hacer esta modificación, el valor de n para el término U1 original debería ser de 0, por loque se puede corregir mediante el remplazo del término n por el término (n -1). Por lo que la ecuación sería la siguiente:

Sn= {(n-1) / 2 . { 2 . U1 + [(n - 1) – 1] . d }} + 1

Sn= {(n-1) / 2 . { 2 . 12 + [(n - 1) – 1] . 12 }} +1

Sn= {(n-1) / 2 . [ 24 + 12 . (n - 1) – 12]} + 1

Sn= [(n-1) / 2 . [ 12 + 12 . (n - 1)] + 1

Sn= [6 . (n – 1) + 6 . (n - 1)2] + 1

Sn= 6n – 6 + 6 .( n2 – 2 .1 . n + 12 )+ 1

Sn= 6n – 6 + 6n2 – 12n + 6 + 1

Sn= 6n2 – 6n + 1

Sn= 6n . (n- 1) + 1

Ya teniendo esta fórmula, lo único que resta es remplazar a n por el término que se desee obtener, en este caso S5 y S6.



S5= 6 . 5 . (5- 1) + 1= 121















S6= 6 . 6 . (6- 1) + 1= 181















La fórmula previamente adquirida se puede utilizar parauna enésima cantidad de términos, como vimos en el caso del S5 y del S6. A continuación se encuentra la fórmula y el resultado para la etapa S7.

S7= 6 . 7 . (7- 1) + 1= 253



Ahora bien, se puede realizar el mismo procedimiento para obtener una figura estelar con distinta cantidad de p vértices, cambiando tan solo el valor de ciertos términos dentro de la ecuación.

Como por ejemplo, en...