números estelares



DEPARTAMENTO MATEMATICAS

MATEMATICAS NIVEL MEDIO



NUMEROS ESTELARES


JUAN JOSE CHAUSTRE


12 DE MAYO, 2014








Introducción
Los números estelares son una serie de números mediante los cuales se pueden armar figuras geométricas utilizando puntos, organizándolos de la manera que cada rama de los números estelares lo proponga. Los números triangulares son seriesde números que están compuestos por las series triangulares las cuales son las que pueden recomponerse en la forma de un triángulo equilátero, mientras que las figuras estelares tienen una forma de estrella. Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos.

Objetivos:
En esta exploración veremos a profundidad que son losnúmeros triangulares y estelares y por medio de graficas, formulas y tablas encontraremos una proporción general que represente el enésimo numero triangular en función de n, y por otro lado también vamos a encontrar una proporción general, en función de p y n, que genere la progresión de p-números estelares para cualquier valor de p en la etapa Sn. Para llegar a esta proporción primero se va hallarel numero estelar (es decir el numero de puntos) en cada etapa hasta la etapa S6. Después hallamos una expresión para el numero 6 estelar en la etapa S7, y por ultimo hallamos una proporción general para el numero 6 estelar en la etapa Sn, en función de n.



imagen tomada de: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Números_triangulares.svg


1) Números triangulares
Como lo dijeanteriormente los números triangulares son aquellos que se pueden representar en la forma de un triangulo equilátero. Y a continuación mostraré 8 ejemplos de triángulos equiláteros usando un programa llamado “Geogebra” con igual numero de puntos a cada lado. a corresponde al numero de puntos que hay en un lado cualquiera del triangulo equilátero.
Figura 1: Números triangulares

a1=1 a2=3a3= 6 a4=10 a5= 15

a6 = 21 a7=28 a8= 36
Según estos ejemplos podemos concluir que los números triangulares , corresponden a el numero de puntos que forman el triangulo equilátero. Siendo así tenemos que los numero triangulares de las 8 figuras anteriores sonrespectivamente: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.

Termino (a)
Numero triangular
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21
7
28
8
36
Tabla 1: Números triangulares
Basándonos en la tabla y las 8 figuras expuestos anteriormente podemos proceder a plantear una proposición general para hallar el enésimo número triangular, en función de n. Y para ello, primero hablaremos de unaproporción o una formula que hallamos gracias a la tabla. Explicaré la proporción en 6 pasos.
termino 1 1=1 1!6. despues e ejemplos de numeros a la tabla. pues cata etapa hasta la etapa S6. despues
termino 2  1 + 2 = 3
termino 3  1+ 2 + 3 = 6
La proporción muestra que al sumar un termino con el siguiente, hallamos el numero triangular de este ultimo termino.
termino 4  1 + 2 + 3 + 4 =10termino 5  1 + 2 +3 +4 +5 = 15
termino 6  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2
y así sucesivamente …
FORMULA 1 ( prueba)
rianglures el termino en n, nos damos cuenta que esta formula no es valida para todos los numeros Gracias a esa proporción podemos probar una formula en función de n. Donde n va a ser el termino.
La formula es (n-1) + n = numero triangular del termino correspondiente
Comprobamosreemplazando con los tres primeros términos (en n ) para hallar los cuatro primeros números triangulares.
(1.1) + 1 = 1 CORRECTO
(2-1) + 2 = 3 CORRECTO
(3-1) + 3 = 5 ERROR
(4-1) + 4 = 7 ERROR
Al remplazar el termino en n, nos damos cuenta que esta formula no es valida para todos los números triangulares. Siendo así procedemos a buscar una segunda formula o proporción general....