Números naturales

Números Naturales
Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

Con los números naturales  se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturalesforman un semigrupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable.Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de unnúmero  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verámás adelante.
El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementoscualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien.
Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene unelemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene.
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.
Principio de inducciónmatemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces .
Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todonatural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:
Para es claro que la suma de los 1 primeros númerosnaturales es .
Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural.

Dados dos números naturales , no es cierto en...