números naturales

Números Naturales

1. Adición en N

a + b= c  suma
 
sumandos

Definición:
La adición aplicada a dos números N a y b da como resultado el número N c que contiene a las unidades de a y b.

Propiedades

Nombre Dice… Ejemplo  a, b, c  d  N
Leyde cierre La suma de dos N es siempre otro N a + b = c
Ley de monotonía i) Si se suma m. a m. una desigualdad en N, se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la dada. a > b
+ c = c
a + c > b + c
a < b
+ c = c
a + c < b + c

ii) Como consecuencia de i), se pueden cancelar sumandos iguales en ambos miembros de una desigualdad. a + c > b + c  a = ba + c < b + c  a = b
iii) Si se suma m. a m. dos desigualdades del mismo sentido en N, se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la dada. a > b
+ c > d
a+c > b+d
a < b
+ c < d
a+c < b+d

Existencia de elemento neutro El 0 (cero) es el elemento neutro en la adición  0  N 
a + 0 = 0 + a = a
Asociativa En la asociación de tres o más N, sereemplazan dos de ello por su suma, no varía en el resultado. (a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa El cambio de los sumandos no afecta la suma. a + b = b + a
Uniforme Si se suma un mismo número N a los dos miembros de una igualdad se obtiene otra igualdad. Si a = b 
a + c = b + c
Cancelativa Si a ambos miembros de una igualdad figura un mismo sumando, este puede suprimirse. Si a + c = b + c a = b









2. Sustracción en N

a – b = c  diferencia

sustraendo
minuendo

Definición:
La sustracción es una operación que aplicada a dos números N a y b da como resultado otro número N c, tal que sumados a b de el número a.
La sustracción es la operación opuesta a la adición.
a – b = c  c + b = aPasaje de términos:
Todo término que está restando en un miembro de una igualdad puede pasar sumando al otro miembro y recíprocamente.
Por definición de sustracción: a – b = c  a = c + b.


Ecuaciones:
Una igualdad que tiene una incógnita “x” se llama ecuación. La solución de la ecuación debe ser tal que al reemplazar “x” por ese número en la igualdad dada, ésta debe cumplirse.Suma Algebraica (regla práctica):

a) Toda suma algebraica es igual a la suma de los términos que figuran sumando, menos la suma de los términos que figuran restando.

b) Todo paréntesis que figura sumando en una suma algebraica conserva las operaciones de los términos encerrados en él.

c) Todo paréntesis que figura restando, en una suma algebraica invierte lasoperaciones de los términos encerrados en él.





Propiedades:

Nombre Dice… Ejemplo  a, b, c, d  N
Ley de cierre No se cumple. Si a < b  a – b  c N
2 – 5 =  N

Ley de monotonía i) Si se resta m. a m. de una desigualdad una igualdad de números N, se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la dada. a > b
- c = c
a – c > b – c a < b
- c =c
a – c < b – c
ii) Si se resta m. a m. de una igualdad una desigualdad entre N, se obtiene una desigualdad de sentido contrario a la dada. a = a
- b > c
a – b < a – c a = a
- b < c
a – b > a – c
iii) Si se resta m. a m. dos desigualdades de distinto sentido entre números N, se obtiene una desigualdad del sentido de la primera. a > b
- c< d
a – c >b – d a < b
- c > d
a – c b
x n = n
a . n > b . n
a < b
x n = n
a . n < b . n

ii) Si se multiplica m. a m. dos desigualdades del mismo sentido entre números N, se obtiene una desigualdad del mismo sentido que las dadas. a > b
x c > d
a . c > b . d
a < b
x c < d
a . c < b . d

Existencia de elemento neutro El 1 (uno)...