Números Reales

Cap´
ıtulo 2

N´meros Reales
u
2.1

Axiomas y Propiedades

Esta secci´n est´ dise˜ada a modo de ofrecer un breve repaso sobre algunos conceptos b´sicos.
o
a
n
a
Comenzaremos estudiando propiedades de los n´meros reales, y en las pr´ximas secciones
u
o
aplicaremos este desarrollo te´rico.
o
Aceptaremos la existencia de un conjunto llamado conjunto de n´meros reales y denotado
upor R. Los n´meros reales se emplean en todas las ´reas de la matem´tica y sus aplicaciones.
u
a
a
Sobre R se define una relaci´n de igualdad que verifica las siguientes propiedades
o
• Para todo a ∈ R se tiene a = a. (Refleja)
• Para todo a, b ∈ R si a = b entonces b = a. (Sim´trica)
e
• Para todo a, b, c ∈ R si a = b y b = c entonces a = c. (Transitiva)
Adem´s el conjunto de los n´merosreales es cerrado respecto a las operaciones de adici´n
a
u
o
o suma (denotada por +) y multiplicaci´n o producto (denotada por ·). Esto significa que
o
dados dos n´meros reales cualesquiera, la suma y la multiplicaci´n de ellos es tambi´n un
u
o
e
n´mero real. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades, llamadas Axiomas de
u
Cuerpo. Dados a, b y c n´meros realesarbitrarios, se verifican
u
• Conmutatividad
• Asociatividad

a + b = b + a,
a + (b + c) = (a + b) + c,

• Elemento Neutro o Identidad
• Elemento Inverso
• Distributividad

a + 0 = a,
a + (−a) = 0,

a · (b + c) = a · b + a · c.
4

a·b =b·a
a · (b · c) = (a · b) · c
a·1=a
a · a−1 = 1 si a = 0

5
Note que 0 no tiene inverso multiplicativo ya que no existe un n´mero que multiplicado
upor cero d´ uno.
e
A partir de la suma, se define la resta
a − b = a + (−b) .
En forma semejante, se define la divisi´n en t´rminos de la multiplicaci´n, para b ∈
o
e
o
R, b = 0,
a ÷ b = a · b− 1 .
Es com´n denotar la divisi´n por
u
o

1
a
, de donde, si b = 0 tenemos b−1 = .
b
b

A continuaci´n se listan algunas importantes propiedades v´lidas en los n´meros reales.
o
a
uLa demostraci´n de ellas, son consecuencia de los axiomas de cuerpo. Para a, b, c y d n´meros
o
u
reales arbitrarios se verifican
• a·0=0
• a = b si y s´lo si a + c = b + c
o
• Si c = 0, se tiene a = b si y s´lo si a · c = b · c
o
• a · b = 0 si y s´lo si a = 0 o b = 0
o
• −(−a) = a
• −(a + b) = −a − b
• −(a · b) = (−a) · b = a · (−b)
• Para a = 0 se tiene (a−1 )−1 = a
• Para a = 0 ,b = 0 se tiene (a · b)−1 = a−1 · b−1
ad ± bc
ac
ac
ac
±=
y
·=.
bd
bd
bd
bd
ad
ac
:=
Si adem´s c = 0, entonces
a
bd
bc

• Para b = 0 , d = 0 se tiene

Una aplicaci´n importante de la axiomatica en R es encontrar soluciones de ecuaciones.
o
Consideremos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.1 Un farmac´utico debe preparar 15 ml de unas gotas para los ojos para un
e
paciente conglaucoma. La soluci´n de las gotas debe contener 2% de un ingrediente activo,
o
pero el farmac´utico s´lo tiene una soluci´n al 10% y otra al 1% en su almac´n ¿Qu´ cantidad
e
o
o
e
e
de cada tipo de soluci´n debe usar para preparar la receta?
o

6
e
o
Soluci´n. Sean Vi : volumen de la i−´sima soluci´n (en este caso i = 1, 2 ) y Ci :
o
concentraci´n del i−´simo ingrediente.
o
eSi queremos que la mezcla final tenga un volumen V y una concentraci´n C, debemos
o
tener
V C = V1 C1 + V2 C2

y

V = V1 + V2

Reemplazando los datos de nuestro problema, obtenemos
15 · 0.02 = V1 0.1 + V2 0.01

y

15 = V1 + V2

De esto, 0.3 = 0.1V1 + 0.01 (15 − V1 ), y despejando obtenemos el valor V1 = 1.667ml y
o
V2 = 13.333. Luego, para preparar 15ml de gotas al 2% debemosutilizar 1.667ml de soluci´n
al 10% y 13.333ml de soluci´n al 1%.
o

2.2

Axiomas de Orden e Inecuaciones

Aceptaremos la existencia de un subconjunto de los n´meros reales llamado conjunto de
u
+ . En este conjunto la suma y la multiplicaci´n de
o
n´meros reales positivos y denotado por R
u
reales positivos es tambi´n un n´mero real positivo y se cumple la siguiente afirmaci´n.
e
u...