Números Reales

1. Concepto de Conjuntos:
Un Conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, entre otros. Algunos ejemplos son:
A: Es el conjunto de los números menores que 5.
B: Es el conjunto de los colores amarrillo, azul y rojo.
C: Es el conjunto de letras a, e, i, o y u.
D: Es el conjunto de lospalos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por las letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que perteneces al conjunto y se denota mediante el símbolo (∈:n 1 a ∈ A), se lee entonces como: (a está en A), (a pertenece a A), (A contiene a a), entre otros. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.
Por ejemplo: 3∈ A, ♠ ∈ D
Amarillo ∉ B, z ∉ C.
2. Conjuntos de N, Z, Q:
Conjuntos de números Naturales: Se expresan en valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades y solamente se expresan en valores positivos.
Ejemplo: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,..}
Conjuntos de números Enteros: En ciertasocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideremos punto de partida o valor cero. Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número un signo (+ o -), de esta manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero permiten expresar valores positivos y valoresnegativos.
Ejemplo: Z= {… -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1,0,+1, +2, +3, +4, +5, +6, +7…}.
Conjuntos de números Enteros: Puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de unafracción por ejemplo:

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:
Para elconjunto de los números racionales puede escribirse:

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:
.

3. Algebras de conjuntos:
Se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, entre otras. Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto estádefinido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.
Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:
Pertenencia: La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como x ∈ A.
Igualdad: Dos conjuntos son iguales siy sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.
Inclusión: Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
El conjunto vacío es el conjunto sin ningún elemento, y se denota por Ø o por {}. El conjuntouniversales el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. Por ejemplo, si se estudian los números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos ellos, N. De manera general, el conjunto universal se denota por U.
Operaciones con conjuntos:
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el...