Números reales

Tema: Números Reales

Abril 2010

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales La unión del conjunto de los números racionales Q con el conjunto de los números irracionales II , recibe el nombre de conjunto de los números reales y se denota con el símbolo , simbólicamente escribimos:

En ocasiones necesitamos trabajar con subconjuntos de R algunos de lossubconjuntos que más , se utilizan son los siguientes: El conjunto de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, ...} El conjunto de los números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} El conjunto de los números enteros positivos Z+ = {1, 2, 3, 4 ...} El conjunto de los números racionales Q =  a : donde a y b son enteros, con b ≠ 0    b  Otros subconjuntos de R muy útiles son los llamadosintervalos, los cuales trataremos más adelante.
El siguiente diagrama ilustra la relación de inclusión entre los conjuntos numéricos

Números irracionales Números reales Números racionales Números enteros Números naturales Números racionales no enteros Números enteros positivos

Sistema de los números reales.
El sistema de los números reales se puede definir de varias manera, la más sencilla yadecuada al nivel del curso es usando el método axiomático, esto nos proporciona una base para el resto del curso. El sistema de los números reales consta del conjunto R con dos operaciones, que llamaremos adición y multiplicación, denotadas con los símbolos + y ⋅ respectivamente, que satisfacen un conjunto de propiedades llamadas axiomas de cuerpo. Además de un ordenamiento en el conjunto R que seestablece con los axiomas de orden y las relaciones menor que y mayor que Decir que la adición y la multiplicación son operaciones definidas en el conjunto de los números reales significa que al efectuar la adición o multiplicación de dos números reales siempre se obtendrá como resultado en un número real.

UNEXPO

Prof. Luis Núñez

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Propiedades(axiomas) de la adición en el conjunto de los números reales R A1 : Si a ∈  , b ∈ R entonces Por ejemplo: 3+ a + b = b + a, (la adición es conmutativa )

2 =

2 +3
( a + b ) + c = a + ( b + c ), ( la adición es asociativa)

A2 : Si a, b , c ∈ R entonces

Por ejemplo: -3 + (5 +4) = (-3+5)+4 A3 : Existe 0 ∈  tal que para cada a ∈ R a+0 = a ( 0 es el elemento neutro de la adición R R en  )A4 : Para cada a ∈R existe -a ∈ R tal que a + (-a) = (-a)+a = 0 (cada número real posee inverso aditivo u opuesto aditivo) Por ejemplo: el inverso aditivo de -4 es 4 pues -4 +4 = 0 Propiedades (axiomas) de la multiplicación en el conjunto de los números reales M1 : Si a,b ∈ R entonces a.b = b.a (la multiplicación es conmutativa) Ejemplo:
3 . 2 = 2.3 4 4

M2 : Si a,b,c ∈ R entonces a.(b.c) =(a.b).c
Ejemplo:

(la multiplicación es asociativa)

2. 1 ⋅3 6 = 2⋅ 1 ⋅3 6

(3 ) ( 3 )

M3 : Existe 1 ∈ tal que para cada a ∈R se cumple a.1 = a ( 1 es el elemento neutro de la R multiplicación) M4 : Para cada a ∈ R a ≠ 0 existe a-1 tal que a. a-1 = 1 (cada número real diferente de 0 , posee inverso multiplicativo) Al inverso multiplicativo del número a se denota por a-1 o bien por 1. Es importante destacar a que el número cero no posee inverso multiplicativo.
Ejemplos:
3 7 ⋅ =1 7 3 y 3⋅ 1 3 = 1 , así que

3   7

−1

=

7 3

y

( 3 )−1 =

1 3

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
D: Si a, b, c ∈R entonces se cumple que: a.(b + c) = a.b + a.c

Ejemplo:

-4. (3 + 5) = -4.3 + (-4).5

Nota: Las propiedadesanteriores son tomadas como axiomas en la construcción del sistema de los números reales, esto significa que deben ser aceptadas como verdaderas sin demostración. UNEXPO Prof. Luis Núñez 2

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La sustracción en el conjunto de los números reales Sean a y b números reales, llamaremos sustracción de a y b, y la denotaremos a – b a la operación definida por: a – b = a +...