números reales

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Ingenier´ Matem´tica
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FACULTAD DE CIENCIAS
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F´
ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducci´n al C´lculo
o
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SEMANA 1: NUMEROS REALES

1.

N´meros Reales
u

1.1.

Introducci´n
o

El conjunto de los n´ meros reales, denotadopor R, es un conjunto cuyos elementos
u
se llaman n´ meros reales, en el cual se definen dos operaciones llamadas suma o
u
adici´n y multiplicaci´n o producto.
o
o
En R existen numerosas propiedades que han sido usadas durante los a˜ os de enn
se˜ anza b´sica y media. Estas propiedades pueden agruparse en tres familias: el
n
a
primer grupo corresponde a aquellas asociadas a la igualdad ylas ecuaciones; el
segundo grupo corresponde a las propiedades en torno a la desigualdad y las inecuaciones; finalmente, existe un conjunto de propiedades avanzadas que marca la
diferencia entre los n´ meros reales y los racionales (las fracciones), estas propiedau
des se preocupan de la estructura interna de los n´ meros reales.
u
Estas ultimas propiedades est´n ligadas al llamado axioma delsupremo, el cual
´
a
hace a R unico.
´
Una posibilidad de estudiar las propiedades de R ser´ dar un largo listado de “toıa
das ellas” de modo que cuando se nos pregunte si una propiedad dada es cierta o
no, bastar´ con decir: “s´ corresponde a la propiedad 1743” (por ejemplo). Esto
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transformar´ al curso de matem´ticas en uno donde s´lo habr´ que memorizar
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o
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infinitaspropiedades.
En este curso, escogeremos una visi´n opuesta a la anterior. Es decir, todas las
o
propiedades deben ser una consecuencia de ciertos postulados b´sicos elementales.
a
Estos postulados b´sicos elementales se llaman axiomas y ser´n los pilares fundaa
a
mentales de nuestra teor´ Las propiedades de R ser´n s´lo aquellas que pueden ser
ıa.
a o
deducidas, mediante una razonamientol´gico-matem´tico, a partir de los AXIOo
a
MAS.
Agruparemos los axiomas en tres grupos: Los axiomas de cuerpo (asociados a la
igualdad), los axiomas de orden (asociados a la desigualdad) y el axioma del supremo (que marca la diferencia entre los reales y los racionales).
Juntando todos los axiomas que satisface R, suele decirse, en pocas palabras que R
es un Cuerpo Ordenado Completo yArquimediano.

1.2.

Axiomas de Cuerpo de los Reales

Los axiomas de R sobre la igualdad tambi´n son llamados axiomas de cuerpo de
e
los reales. Los agruparemos en un total de 5, de los cuales los dos primeros son los
siguientes:
Axioma 1. (Conmutatividad)

1

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e
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a) Cualesquiera quesean los reales x, y dados, su suma es un real y es independiente del orden en que se usen los dos sumandos, es decir:
(∀x, y ∈ R)

x + y = y + x.

b) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su producto es un real y es
independiente del orden en que se haga el producto, es decir:
(∀x, y ∈ R)

x · y = y · x.

Axioma 2. (Asociatividad)
a) (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z
b)(∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z
Observemos que el axioma de la asociatividad NO DICE que x+(y+z) = (x+z)+y.
Sin embargo esta ultima igualdad es cierta, gracias a la combinaci´n apropiada de
´
o
los dos axiomas anteriores.
En efecto:
x + (y + z) =

x + (z + y)

Por el axioma 1

=

(x + z) + y

Por el axioma 2.

Por lo tanto, combinando los dos axiomas anteriores, se concluyeque los operandos
de una triple suma, se pueden reordenar de cualquier forma, sin alterar el resultado.
Es por esta raz´n, que en general, cuando hay varios sumandos, no se usan los
o
par´ntesis, a no ser que sea estrictamente necesario.
e
Ejercicios 1.1: Demostrar las siguientes igualdades, usando solo los axiomas 1 y
2.
1. (a + b) + c = (a + c) + b = (b + a) + c = (b + c) + a = (c...