Números

´ 1. Numeros naturales, enteros, racionales y reales
1.1. Naturales, enteros y racionales
Los n´ meros que b´ sicamente vamos a tratar son los reales R. Estudiaremos sucesiones de n´ meros reales, u a u funciones de variables reales,... Pero antes de definir los reales vamos a hacer un breve repaso de los n´ meros u m´ s sencillos. En lo que sigue se supondr´ que son conocidos los significados delos s´mbolos ∀ (para todo), a a ı ∃ (existe), ⇒ (implica), ⇔ (si y s´ lo si), ... y que se han visto propiedades l´ gicas sencillas que se utilizar´ n o o a ′ . Otros en alguna demostraci´ n como, por ejemplo, que la afirmaci´ n ‘p ⇒ q’ equivale a ‘(no q) ⇒ (no p) o o conocimientos que se presuponen son las ideas y s´mbolos b´ sicos de la teor´a de conjuntos: ∪ (uni´ n), ∩ ı a ı o (intersecci´ n),⊂ (contenido en), ∈ (pertenece), ... o

Llamaremos N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} al conjunto de los n´ meros naturales (sin incluir el 0 ), u Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} al de los enteros, y Q = {p/q, p y q enteros, q = 0} al conjunto de los racionales. La suma y el producto de dos n´ meros naturales cualesquiera son tambi´ n naturau e ı les, pero su diferencia puede no serlo. S´ esun entero la diferencia de dos enteros. El cociente de racionales es racional, pero no lo es, en general, el de dos enteros. Los tres conjuntos son conjuntos ordenados por la relaci´ n “>”(ser mayor que). Con palabras m´ s matem´ ticas, y refiri´ ndonos o a a e al mayor de los tres conjuntos, se dice que Q es un cuerpo ordenado, es decir, que satisface las siguientes propiedades (a, b, c ∈ Q):Propiedades de cuerpo: Existen dos operaciones “+” y “ · ” que cumplen: 1) + y · son asociativas y conmutativas: a + (b + c) = (a + b) + c , a + b = b + a , a · (b · c) = (a · b) · c , a · b = b · a 2) se cumple la propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c 3) existen elementos neutros 0 respecto a + y 1 respecto a · : a + 0 = a, a · 1 = a ∀a 4) existen elementos inversos respecto a + y · :∀a ∃ − a tal que a + (−a) = 0 , ∀a = 0 ∃ a−1 tal que a · a−1 = 1 Propiedades de orden: Existe una relaci´ n “>”que satisface: o 5) dado a , o bien a > 0 , o bien −a > 0 , o bien a = 0 6) si a, b > 0 tambi´ n a + b > 0 , a · b > 0 e
´ A partir unicamente de las propiedades anteriores se pueden definir las otras conocidas operaciones b´ sicas a (diferencia, cociente y potencias) y desigualdades: a − b= a + (−b); si b = 0, a/b = a · b−1 ; si n ∈ N, an = a · . . . · a , n veces; ´ b > a si b − a > 0 ; b < a si a > b ; b ≥ a si b > a o si b = a ; b ≤ a si a ≥ b . N y Z no son un cuerpo: N no posee inverso siquiera respecto de la suma y Z no lo tiene respecto del producto. El conjunto R de los reales que trataremos en la pr´ xima secci´ n poseer´ todas estas propiedades y adem´ s o o a a otra (elllamado ‘axioma del extremo superior’). Observemos que entre dos racionales p > q, por cercanos que est´ n, existen infinitos racionales. e En efecto, r1 = (q+ p)/2 es otro racional que se halla entre los dos. Otros infinitos, por ejemplo, ´ son r2 = (q+r1 )/2 , r3 = (q+r2 )/2 , ... Recordamos que una forma de precisar de forma unica un racional es dar su expresi´ n decimal, que o bien tiene s´ loun n´ mero finito de decimales o bien tiene o o u adem´ s un n´ mero finito de decimales que se repiten peri´ dicamente ( 7/8 = 0.875 es un ejemplo de la a u o primera situaci´ n y 8/7 = 1.142857142857... lo es de la segunda). Pensando en la expresi´ n decimal o o vuelve a estar muy claro que entre dos racionales existen otros infinitos y que podemos encontrar racionales tan pr´ ximos como queramos auno dado. o

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Repasemos algunas otras definiciones y propiedades de los naturales, enteros y racionales: Demostraciones por inducci´ n. o Supongamos que queremos demostrar una afirmaci´ n, que llamaremos P(n) , que depende de o un n´ mero natural n . Demostrar P(n) por inducci´ n consiste en: u o i) demostrar P(1) (es decir, que la afirmaci´ n es cierta si n = 1 ) o ii) demostrar que P(n)...