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Cap´ıtulo 3

Transformaciones lineales
´
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra
Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operaci´on y la acci´on) de estos espacios.

3.1

Definiciones, ejemplos y propiedades b´
asicas

En esta secci´on introduciremos la noci´on detransformaci´on lineal, as´ı como tambi´en ciertas
nociones b´asicas asociadas a estas funciones.

3.1.1

Transformaciones lineales

Definici´
on 3.1 Sean (V, +V , ·V ) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales. Una funci´on
f : V → W se llama una transformaci´
on lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo)
de V en W si cumple:
i) f (v +V v ) = f (v) +W f (v ) ∀ v, v ∈ V.
ii) f (λ·V v) = λ ·W f (v)

∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

Observaci´
on 3.2 Si f : V → W es una transformaci´on lineal, entonces f (0V ) = 0W .
En efecto, puesto que f (0V ) = f (0V + 0V ) = f (0V ) + f (0V ), entonces
0W

=

f (0V ) + (−f (0V )) = f (0V ) + f (0V ) + (−f (0V )) =

=

f (0V ) + f (0V ) + (−f (0V )) = f (0V ) + 0W = f (0V ).

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Transformaciones lineales

Ejemplos.
1. Sean Vy W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0 : V → W , definida por 0(x) = 0W
∀ x ∈ V , es una transformaci´on lineal.
2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V → V definida por id(x) = x es una transformaci´on
lineal.
3. Sea A ∈ K m×n . Entonces fA : K n → K m definida por fA (x) = (A.xt )t es una
transformaci´on lineal.
4. f : K[X] → K[X], f (P ) = P es una transformaci´on lineal.
1

5. F: C(R) → R, donde C(R) = {f : R → R | f es continua}, F (g) =
transformaci´on lineal.

g(x) dx es una
0

Como hemos mencionado al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura
de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio,
por ejemplo en las im´agenes y pre-im´agenes de subespacios por transformaciones lineales:
Proposici´on 3.3 Sea f : V → W una transformaci´
on lineal. Entonces:
1. Si S es un subespacio de V , entonces f (S) es un subespacio de W .
2. Si T es un subespacio de W , entonces f −1 (W ) es un subespacio de V .
Demostraci´
on.
1. Sea S ⊆ V un subespacio y consideremos f (S) = {w ∈ W / ∃ s ∈ S, f (s) = w}.
(a) 0W ∈ f (S), puesto que f (0V ) = 0W y 0V ∈ S.
(b) Sean w, w ∈ f (S). Entonces existens, s ∈ S tales que w = f (s) y w = f (s ).
Luego w + w = f (s) + f (s ) = f (s + s ) ∈ f (S), puesto que s + s ∈ S.
(c) Sean λ ∈ K y w ∈ f (S). Existe s ∈ S tal que w = f (s). Entonces λ · w = λ · f (s) =
f (λ · s) ∈ f (S), puesto que λ · s ∈ S.
2. Sea T un subespacio de W y consideremos f −1 (T ) = {v ∈ V / f (v) ∈ T }.
(a) 0V ∈ f −1 (T ), puesto que f (0V ) = 0W ∈ T .
(b) Sean v, v ∈ f −1(T ). Entonces f (v), f (v ) ∈ T y, por lo tanto, f (v + v ) = f (v) +
f (v ) ∈ T . Luego v + v ∈ f −1 (T ).
(c) Sean λ ∈ K, v ∈ f −1 (T ). Entonces f (v) ∈ T y, en consecuencia, f (λ·v) = λ·f (v) ∈
T . Luego λ · v ∈ f −1 (T ).

3.1 Definiciones, ejemplos y propiedades b´
asicas

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De la Definici´on 3.1 se deduce inmediatamente que una transformaci´on lineal preserva
combinacioneslineales. Veremos que, debido a esto, una transformaci´on lineal queda un´ıvocamente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su
dominio. Comenzamos con un ejemplo.
Ejemplo. Hallar, si es posible, una transformaci´on lineal f : R2 → R2 que verifique f (1, 1) =
(0, 1) y f (1, 0) = (2, 3).
Dado (x1 , x2 ) ∈ R2 se tiene que (x1 , x2 ) = x2 (1, 1) + (x1 − x2)(1, 0). Entonces, si f verifica
lo pedido, debe ser
f (x1 , x2 ) =
=

x2 .f (1, 1) + (x1 − x2 ).f (1, 0) = x2 .(0, 1) + (x1 − x2 ).(2, 3)
(2x1 − 2x2 , 3x1 − 2x2 ).

Adem´as, es f´acil ver que esta funci´on es una transformaci´on lineal y que vale f (1, 1) = (0, 1)
y f (1, 0) = (2, 3).
´nica transformaci´on lineal que satisface
Luego, f (x1 , x2 ) = (2x1 − 2x2 , 3x1 − 2x2 ) es la u
lo...