Objetivos Microeconomía

Métodos Exactos de Optimización en Microeconomía
Enrique Bour, Febrero de 20111.
Hay muchos problemas económicos que tienen la estructura siguiente: (i) se minimiza
una función lineal sujeta a una restricción no lineal; (ii) se maximiza una función lineal
sujeta a una restricción no lineal; o bien (iii) se maximiza una función no lineal sujeta a
una restricción lineal. Como ejemplos, setiene: (i) el problema de minimización de
costos del productor (o el problema de minimización del gasto del consumidor); (ii) el
problema de maximización de beneficios del productor, y (iii) el problema de
maximización de la utilidad del consumidor. Todos estos problemas de optimización
condicionada desempeñan un papel clave en la teoría económica. Al final de este
documento son repasados algunosconceptos centrales.
En los libros más usados de teoría microeconómica y economía matemática (como los
de Jehle, G.A. y Reny, P.J. Advanced Microeconomic Theory (2nd edition), Wiley,
New York, 2001; Mas-Colell, A., Whinston, M.D. y Green, J.R. Microeconomic Theory,
Oxford University Press, New York, 1995; Simon, C.P. y Blume, L. Mathematics for
Economists, Norton, New York, 1993; y Takayama,A. Mathematical Economics (2nd
edition), Cambridge University Press, Cambridge, 1996) que hacen énfasis en la
precisión y el rigor, el tratamiento del problema fundamental de maximización de la
utilidad parece mostrar deficiencias en tres aspectos: amplitud de cobertura, métodos
de solución completos y coherentes así como corrección desde el punto de vista
matemático. Las mismas deficienciasaparecen en otros libros con orientación menos
formal (como Luenberger, D.G. Microeconomic Theory, McGraw-Hill, New York, 1995
y Varian, H.R. Microeconomic Analysis (3rd edition), Norton, New York, 1992). En
consecuencia, el lector buscará inútilmente un método para derivar funciones de
demanda marshallianas que cumplan con: a) que sean completas y coherentes,
basadas en principiosgeneralmente aceptados de razonamiento matemático correcto
(a partir de, por ejemplo, los teoremas de Kuhn-Tucker y de Weierstrass), b) que sean
operativamente útiles de ser aplicadas al menos a las siguientes cinco instancias de
funciones de utilidad sobre el conjunto de consumo estándar Xl+, donde l∈N
representa al número de bienes; 1) la función de utilidad Cobb-Douglas, l>2, 2) la
función deutilidad CES, l>2, 3) la función de utilidad lineal con coeficientes positivos,
l≥2, 4) la función de utilidad u(x1,x2) = x12(x2+1) o cualquier otra similar que conduzca
a soluciones de esquina, y 5) la función de utilidad de Leontief, l≥2.
Cabe notar que hay buenos motivos para incluir al menos más de dos bienes en la lista
anterior. En efecto, si l=2 todos los problemas anteriores de maximizaciónde la
utilidad podrían reducirse inmediatamente a un problema de optimización escalar
sobre un intervalo; pues las funciones de utilidad correspondientes son estrictamente
crecientes, lo que implica que toda solución óptima tendrá presupuesto balanceado por
el siguiente Teorema 1(a). Se trata de un problema elemental, que puede ser resuelto
mediante el uso del signo de la derivada, apoyadotal vez mediante programas de
cómputo algebraico. Lo cual explica por qué el caso l>2 fue elegido en los ejemplos
Basado en Erik J. Balder, Exact and Useful Optimization Methods for Microeconomic Theory, SSRN,
May 2008. Como introducción, véase W. Erwin Diewert, Convex Sets and Concave Functions, January
2008.
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clásicos 1)-2) para verificar la utilidad operativa de los métodos que ahoraveremos. Si
se quiere aplicar el método de solución a los casos 3)-4) el método debe ser capaz de
calcular soluciones múltiples y soluciones de esquina (un tema habitual en un curso de
microeconomía estándar como el de Besanko, D. y Braeutigam, D.R. Microeconomics
(2nd. ed.), Wiley, New York, 2005). Por último se debe tener en cuenta que el caso 5)
corresponde a una función de utilidad no...