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Sistema de ecuaciones
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste enencontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se planteanlas ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a unacontradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en lasincógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.
Sistema general[editar]
La forma genérica de un sistema de  ecuaciones algebraicas y  incógnitas es la siguiente:
(1)
donde  son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que elresultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.
Representación gráfica[editar]
Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones  en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de laexistencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.
Clasificación de los sistemas[editar]

Un sistema de ecuaciones sobre  puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones , de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:
Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
Sistemascompatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, .
Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman unavariedad continua, .
Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, .
Sistema lineal general[editar]
Artículo principal: Sistema de ecuaciones linealesSe llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de lassoluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tresmatrices, de la siguiente forma:
(2)
La primera es la matriz de coeficientes, donde el término  representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima.La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las  incógnitas. La tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada  representa al término independiente de la ecuación i-ésima.
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz decoeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término  se corresponderá con el de la incógnita . Si queda alguna fila del tipo , con , el sistema no tendrá solución.
Ejemplos:
Un sistema lineal incompatible...