Obras

Cap´tulo 2. Probabilidades
ı

Cap´tulo 2. Probabilidades
ı
Probabilidad y Estad´stica
ı
Facultad de Ingenier´a
ı
Universidad de Talca
´
Mg. Eduardo Alarcon Bustamante
edalarcon@utalca.cl

´
Curico, segundo semestre 2012

Cap´tulo 2. Probabilidades
ı

´ndice I
I
´
1 Introduccion
´
2 Conceptos Basicos

3 Probabilidades
´
Conceptos basicos de la teor´a de probabilidadı
Axiomas de la teor´a de probabilidad
ı
Teoremas de probabilidad
Ejercicio 1

4 Espacios muestrales
Espacios muestrales finitos
Espacios finitos equiprobables
´
5 Tecnicas de conteo

6 Ejercicio 2

Cap´tulo 2. Probabilidades
ı
´
Introduccion

Entenderemos por probabilidad a un mecanismo por medio del
cual pueden estudiarse eventos aleatorios.
Uno de los objetivos de laestad´stica es tomar decisiones con
ı
base en una evidencia muestral (Inferencia Estad´stica). La toma
ı
´
´ı
de decision estara ´ntimamente ligada con la probabilidad.
´
En esta presentacion introducimos los principios elementales de
la teor´a de probabilidades. Comenzamos con definiciones
ı
´
´
basicas y el desarrollo axiomatico de la medida de probabilidad.
´
Despues, se entreganpropiedades y teoremas utiles para
´
solucionar problemas aplicados relacionados al campo de la
ingenier´a.
ı

Cap´tulo 2. Probabilidades
ı
´
Conceptos Basicos

Entendemos por experimento aleatorio (ξ), aquel experimento que
podemos repetir tantas veces como sea necesario, siempre con las
mismas condiciones, sabiendo todos los posibles resultados, sin
´
saber de antemano cual sera elresultado concreto del experimento.
Al realizar un experimento aleatorio, existen diversos resultados
posibles, lo que llamaremos Espacio muestral (Ω), llamaremos
Evento (A, B, C, . . .) a un subconjunto del espacio muestral .

Cap´tulo 2. Probabilidades
ı
´
Conceptos Basicos

´
Se define un evento elemental, al conjunto formado por un solo
elemento de Ω, y lo denotaremos mediante E = {ω}Ejemplo
Considere el evento A obtener un numero par al lanzar un dado.
´
Entonces se tiene lo siguiente
ξ = Lanzar un dado
Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 } = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {ω2 , ω4 , ω6 } = {2, 4, 6}
Ei = {ωi }

Cap´tulo 2. Probabilidades
ı
Probabilidades
´
Conceptos basicos de la teor´a de probabilidad
ı

´
´
Para formalizar la definicion de probabilidad, a traves deun conjunto
´
´
de axiomas, se repasara brevemente los conceptos basicos de teor´a
ı
´
de conjunto, sobre los cuales se fundamenta la definicion formal de
probabilidad.
´
Definicion (Complemento de A )
El complemento de un evento A es el conjunto de todos los
´
resultados pertenecientes a Ω que no estan incluidos en A. Se
denota por Ac
´
´
Definicion (Conjunto Union de A y B)
´
Launion de los eventos A y B es el conjunto de todos los resultados
´
pertenecientes a Ω que estan incluidos en A o en B. Se denota por
A∪B

Cap´tulo 2. Probabilidades
ı
Probabilidades
´
Conceptos basicos de la teor´a de probabilidad
ı

´
´
Definicion (Conjunto Interseccion de A y B)
´
La interseccion de los eventos A y B es el conjunto de todos los
´
resultados pertenecientes a Ωque estan incluidos tanto en A como
en B. Se denota por A ∩ B
´
Definicion (Eventos mutuamente excluyentes)
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes (disjuntos,
´
logicamente incompatibles) si no tienen resultados en comun. Es
´
decir A ∩ B = φ

Diagramas de Venn que ilustran (de izquierda a derecha) el
´
´
complemento, la union, interseccion y los eventos excluyentes.

Cap´tulo2. Probabilidades
ı
Probabilidades
´
Conceptos basicos de la teor´a de probabilidad
ı

Ley de Morgan: Sean A1 , A2 , . . . , An n eventos asociados a un
mismo Ω, entonces
c

(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . ∪ An ) = (Ac ∩ Ac ∩ Ac ∩ . . . ∩ Ac )
n
1
2
3
Es decir

c

n

Ai

n

Ac
i

=

i=1

i=1
c

(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩ An ) = (Ac ∪ Ac ∪ Ac ∪ . . . ∪ Ac )
n
1
2
3
Es...