Observadores de estado (control)

INTRODUCCIÓN A LOS OBSERVADORES DE ESTADO
Hemos visto que para hacer una asignación completa de los autovalores de lazo cerrado, es
necesario realimentar todos los estados del sistema. Sin embargo, es común que algunos
estados no sean accesibles o que su medida no sea económicamente viable. Una alternativa
para estos casos es obtener una estimación de los estados no medibles a través de unobservador de estados.
Un observador de estados es un sistema dinámico cuyos estados convergen a los del
sistema observado. Dependiendo del número de estados observados, el observador es de
orden completo u orden reducido.
Luego puede implementarse un control con asignación de autovalores de lazo cerrado por
realimentación de los estados observados (figura 1).
u

r+

Sistema.

y

x−
y

Observador.

u
∧

x

∧

K⋅x

K

FIGURA 1
Observador de orden completo.
Consideremos que se desea estimar los estados x del sistema lineal

 x = Ax + Bu
,

 y = Cx

donde las matrices A, B y C son conocidas.
Se propone la siguiente estructura genérica para el observador

ˆ
ˆ
x = A x + Ly + z ,
o

(1)

(2)

donde las matrices Ao y L deben ser diseñadaspara cumplir el objetivo de forzar la
convergencia de los estados del observador a los del sistema (1). Por otra parte z es una
señal a determinar, si bien aún no es conocida es razonable pensar que dependa de la
excitación del sistema a observar.
La dinámica del error definido por la diferencia entre los estados del sistema y los estados
del observador resulta de la diferencia entre lasecuaciones (1) y (2):


ˆ
ˆ
e = x − x = Ax + Bu − Ao x − Ly − z

(3)


ˆ
e = (A − LC )x − Ao x + Bu − z .

(4)

ˆ
Para asegurar que el error e = x − x converja a cero, mas allá de la excitación u del sistema,
de su salida y y del valor inicial del error eo, la ecuación (4) debería poder reducirse a:
~

e = Ae
(5)
~
donde los autovalores de la matriz A deben pertenecer alsemiplano izquierdo. Esta
reducción es posible si:
~
(6)
Ao = A − LC = A
z = Bu .

(7)

Luego el diseño del observador se reduce a encontrar una matriz L que asigne sus
autovalores en:
1) el semiplano izquierdo, lo cual asegura la estabilidad del observador,
2) y a la izquierda de los autovalores del sistema para asegurar que la dinámica del

error e = Ao e sea más rápida que la delsistema. Por qué?
La figura 2a muestra un diagrama en bloques del conjunto sistema-observador. Para
obtener las partes b y c de la figura se han realizado transformaciones elementales,
obteniéndose así, el diagrama en bloques que puede encontrarse en muchos libros de texto
(cuya interpretación resulta inmediata).

Sistema.
.

x

+

u

B

x

∫

y
C

A

L
B

.

+

xˆ

∫
Ao=A−LC

Observador.
FIGURA 2a

x
ˆ

y

u

Sistema.
L
.

x
ˆ
B

x
ˆ

∫

+

A
C
y
ˆ

−L

FIGURA 2b
y

u

Sistema.

+
L

−

.

x
ˆ
B

+

y
ˆ

x
ˆ

∫

C
A

x
ˆ

Observador
.

FIGURA 2c
Remarque 1. Los autovalores de una matriz y los correspondientes a su traspuesta son
iguales.
Luego, es indistinto asignar losautovalores de Ao = A − LC
o de
AT = AT − C T LT .
o

Remarque 2. Si A está en la forma canónica observable AT estará en la forma canónica
controlable. Luego la asignación de los autovalores del observador AT = AT − C T LT puede
o

realizarse en forma análoga a como se ha hecho la asignación de los polos de lazo cerrado
por realimentación de estados ( Alc = (A − BK )).
Principio deSeparación
En esta sección se verá que los autovalores del observador y del sistema de lazo cerrado
pueden diseñarse independientemente. Sorprendente!
Lo anterior es estrictamente cierto si:
- no hay perturbaciones ni ruidos de observación. En el caso en que las
perturbaciones y ruidos sean blancos continua siendo válido (teorema de
separación).
- el modelo del sistema no presenta errores. Cuando...