Observadores de estado
Páginas: 13 (3130 palabras)
Publicado: 2 de marzo de 2012
DISEÑO DE OBSERVADORES DE ESTADO
CONCEPTO
TIPOS
1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO
DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO
1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO
1.2. METODO DE DISEÑO POR LA FORMULA DE ACKERMAN
1.3. METODO DE DISEÑO COMPLETO
1.4. DISEÑO MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB
2. OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO
2.1. DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO
2.2. METODOLOGÍA DEDISEÑO
3. OBSERVADOR PARA SISTEMAS MIMO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
REFERENCIAS DE INTERNET
CONCEPTO:
Los observadores de estado, son herramientas virtuales, que permiten estimar las variables o estados de un sistema en base a mediciones de las señales de salida y señales de control. Estos observadores permiten enviar información estimada acerca del valor que toman dichos estados,permitiendo conocer un aproximado del valor real, además cuentan con muy poco margen de diferencia o error.
Se le considera una herramienta virtual, puesto que se desarrolla como software o programa dentro de una computadora.
TIPOS:
Existen 2 tipos de observadores: observadores de orden completo, y observadores de orden reducido u orden mínimo.
← Los observadores de orden Completo, sonaquellos utilizados para observar o estimar todos los estados de un sistema.
← Los observadores de orden Reducido, son aquellos utilizados para observar o estimar solo algunos estados de un sistema.
1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO
Dado el sistema:
[pic]
donde:
x Vector de estado (n x 1)
u Señal de control (escalar)
y Señal de salida (escalar)
AMatriz (n x n)
B Matriz (n x 1)
C Matriz (1 x n)
D Matriz (escalar)
Se puede estimar sus estados mediante la siguiente expresión:
[pic]
donde:
L Vector de ganancias que permiten la observación de estados (1 x n)
[pic] Vector de estados estimados
[pic] Salida estimada
[pic]
Debe notarse que las matrices A, B, C, D son las mismas tanto paraun sistema real como para el sistema estimado. Para los cálculos siguientes se asume que el valor de D es cero.
La diferencia existente entre x y [pic] se denomina error de observación, y el término [pic] se denomina factor de corrección.
Para determinar el error de observación restamos [pic], así tenemos:
[pic]
Si se sabe que el error esta definido como la diferencia entre el estadoreal y el estado estimado, entonces se tendrá:
[pic]
A partir de esta expresión se puede conocer el comportamiento dinámico y la estabilidad del sistema, si la matriz |A-LC| es estable, entonces el observador hará bien su trabajo, y dada cualquier condición inicial, el sistema tenderá a un error cero.
La elección de correctos valores para el vector de observabilidad L, permitirá que elcomportamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente estable y lo suficientemente rápido para tender a un valor de cero.
La estabilidad asintótica y la velocidad de respuesta de la dinámica del error se determina mediante los autovalores de la matriz |A-LC|, dados por el polinomio característico |sI-A+LC|.
Existe una condición necesaria, la cual consiste en que el sistema obtenidosea estable y completamente controlable y observable.
Ejemplo:
Determinar la ecuación característica del sistema siguiente, si se le agrega un observador de estados L.
[pic]
Solución.
Si el sistema es de orden 2, es de suponer que el observador también será de orden 2, y lo podemos definir como
[pic]
Luego el polinomio característico estará dado por:
[pic][pic]
DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO
1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO
Analizando la respuesta del ejemplo anterior nos podemos dar cuenta que los valores que toman L1 y L2 están condicionadas por las raíces del polinomio, las cuales a su vez están condicionadas por las características con que queremos que cuente el sistema, por tanto se puede elegir raíces de tal modo de...
CONCEPTO
TIPOS
1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO
DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO
1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO
1.2. METODO DE DISEÑO POR LA FORMULA DE ACKERMAN
1.3. METODO DE DISEÑO COMPLETO
1.4. DISEÑO MEDIANTE EL SOFTWARE MATLAB
2. OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO
2.1. DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO
2.2. METODOLOGÍA DEDISEÑO
3. OBSERVADOR PARA SISTEMAS MIMO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
REFERENCIAS DE INTERNET
CONCEPTO:
Los observadores de estado, son herramientas virtuales, que permiten estimar las variables o estados de un sistema en base a mediciones de las señales de salida y señales de control. Estos observadores permiten enviar información estimada acerca del valor que toman dichos estados,permitiendo conocer un aproximado del valor real, además cuentan con muy poco margen de diferencia o error.
Se le considera una herramienta virtual, puesto que se desarrolla como software o programa dentro de una computadora.
TIPOS:
Existen 2 tipos de observadores: observadores de orden completo, y observadores de orden reducido u orden mínimo.
← Los observadores de orden Completo, sonaquellos utilizados para observar o estimar todos los estados de un sistema.
← Los observadores de orden Reducido, son aquellos utilizados para observar o estimar solo algunos estados de un sistema.
1. OBSERVADOR DE ORDEN COMPLETO
Dado el sistema:
[pic]
donde:
x Vector de estado (n x 1)
u Señal de control (escalar)
y Señal de salida (escalar)
AMatriz (n x n)
B Matriz (n x 1)
C Matriz (1 x n)
D Matriz (escalar)
Se puede estimar sus estados mediante la siguiente expresión:
[pic]
donde:
L Vector de ganancias que permiten la observación de estados (1 x n)
[pic] Vector de estados estimados
[pic] Salida estimada
[pic]
Debe notarse que las matrices A, B, C, D son las mismas tanto paraun sistema real como para el sistema estimado. Para los cálculos siguientes se asume que el valor de D es cero.
La diferencia existente entre x y [pic] se denomina error de observación, y el término [pic] se denomina factor de corrección.
Para determinar el error de observación restamos [pic], así tenemos:
[pic]
Si se sabe que el error esta definido como la diferencia entre el estadoreal y el estado estimado, entonces se tendrá:
[pic]
A partir de esta expresión se puede conocer el comportamiento dinámico y la estabilidad del sistema, si la matriz |A-LC| es estable, entonces el observador hará bien su trabajo, y dada cualquier condición inicial, el sistema tenderá a un error cero.
La elección de correctos valores para el vector de observabilidad L, permitirá que elcomportamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente estable y lo suficientemente rápido para tender a un valor de cero.
La estabilidad asintótica y la velocidad de respuesta de la dinámica del error se determina mediante los autovalores de la matriz |A-LC|, dados por el polinomio característico |sI-A+LC|.
Existe una condición necesaria, la cual consiste en que el sistema obtenidosea estable y completamente controlable y observable.
Ejemplo:
Determinar la ecuación característica del sistema siguiente, si se le agrega un observador de estados L.
[pic]
Solución.
Si el sistema es de orden 2, es de suponer que el observador también será de orden 2, y lo podemos definir como
[pic]
Luego el polinomio característico estará dado por:
[pic][pic]
DISEÑO DE OBSERVADORES DE ORDEN COMPLETO
1.1. METODO DE DISEÑO ABREVIADO
Analizando la respuesta del ejemplo anterior nos podemos dar cuenta que los valores que toman L1 y L2 están condicionadas por las raíces del polinomio, las cuales a su vez están condicionadas por las características con que queremos que cuente el sistema, por tanto se puede elegir raíces de tal modo de...
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