observadores

Universidad Nacional de La Plata
Facultad de Ingenier´
ıa
Departamento de Electrotecnia
C´tedra de Control Moderno
a

Observadores de estados

Ricardo Juli´n Mantz
a
A˜o 2003
n

1.

Introducci´n
o

Hemos visto que para hacer una asignaci´n completa de los autovalores de lazo cerrado, es
o
necesario realimentar todos los estados del sistema. Sin embargo, es com´n que algunosestados
u
no sean accesibles o que su medida no sea econ´micamente viable. Una alternativa para estos
o
casos es obtener una estimaci´n de los estados no medibles a trav´s de un observador de estados.
o
e
Un observador de estados es un sistema din´mico cuyos estados convergen a los del sistema
a
observado. Dependiendo del n´mero de estados observados, el observador es de orden completo
uo reducido. Luego puede implementarse un control con asignaci´n de autovalores de lazo cerrado
o
por realimentaci´n de los estados observados Fig. 1.
o

Figura 1: Realimentaci´n de estados observados.
o

2.

Observador De Orden Completo

Consideremos que se desea estimar los estados x de un sistema lineal
x = Ax + Bu
˙
y = Cx,

(1)

siendo las matrices A, B y C son conocidas.Se propone la siguiente estructura gen´rica para el
e
observador
˙
x = Ao x + Ly + z
ˆ
ˆ
(2)
donde las matrices Ao y L deben ser dise˜adas para cumplir el objetivo de forzar la convergencia
n
de los estados del observador a los del sistema (1). Por otra parte, z es una se˜al a determinar,
n
si bien a´n no es conocida es razonable pensar que dependa de la excitaci´n u del sistema a
uo
observar.
La din´mica del error definido por la diferencia entre los estados del sistema y los estados del
a
observador resulta de la diferencia entre las ecuaciones (1) y (2):
˙
e = x − x = Ax + Bu − Ao x − Ly − z,
˙
˙ ˆ
ˆ

(3)

e = (A − LC) x − Ao x + Bu − z.
˙
ˆ

(4)

Para asegurar que el error e = x − x converja a cero, mas all´ de la excitaci´n u del sistema, de
ˆ
a
osu salida y y del valor inicial del error e(0), la ecuaci´n (4) deber´ poder reducirse a:
o
ıa
˜
e = Ae
˙
1

(5)

˜
donde los autovalores de la matriz A deben pertenecer al semiplano izquierdo. Esta reducci´n
o
es posible si:
˜
Ao = A − LC = A,
z = Bu.

(6)
(7)

Luego el dise˜o del observador se reduce a encontrar una matriz L que asigne sus autovalores
n
en:
1. elsemiplano izquierdo, lo cual asegura la estabilidad del observador,
2. y a la izquierda de los autovalores del sistema para asegurar que la din´mica del error
a
e = Ao e sea m´s r´pida que la del sistema. ¿Por qu´?
˙
a a
e
La Fig. 2 muestra un diagrama en bloques del conjunto sistema-observador. Para obtener la
Fig. 3 se han realizado transformaciones elementales, obteni´ndose as´ el diagrama enbloques
e
ı,
que puede encontrarse en muchos libros de texto (cuya interpretaci´n f´
o ısica resulta inmediata).

Figura 2: Observador de orden completo.

Figura 3: Observador de orden completo.
Remarque 1. Los autovalores de una matriz y los correspondientes a su traspuesta son iguales.
Luego, es indistinto asignar los autovalores de Ao = A − LC o los de AT = AT − C T LT .
o
2Remarque 2. Si A est´ en la forma can´nica observable AT estar´ en la forma can´nica controa
o
a
o
lable. Luego la asignaci´n de los autovalores del observador AT = AT −C T LT puede realizarse en
o
o
forma an´loga a como se ha hecho la asignaci´n de los polos de lazo cerrado por realimentaci´n
a
o
o
de estados ( Alc = (A − BK)).
2.1.

Principio de Separaci´n
o

En esta secci´n sever´ que los autovalores del observador y del sistema a lazo cerrado pueden
o
a
dise˜arse independientemente. Sorprendente!
n
Lo anterior es estrictamente cierto si:
o
- no hay perturbaciones ni ruidos de observaci´n. En el caso en que las perturbaciones y
ruidos sean blancos continua siendo v´lido (teorema de separaci´n).
a
o
- el modelo del sistema no presenta errores. Cuando el error...