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Matem´atica Discreta Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
A ∪ B = {n ∈ Z
+ : n 6 13} ∪ {n ∈ Z
+ : n es par y n 6 20}
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} ∪ {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,18,20}
A ∩ B = {n ∈ Z
+ : n 6 13} ∩ {n ∈ Z
+ : n es par y n 6 20}
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13} ∩ {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
= {2,4,6,8,10,12}
Ac = {n ∈ Z
+ : n/∈ A}
= {n ∈ Z
+ : n > 13}
Bc = {n ∈ Z
+ : n /∈ B}
= {n ∈ Z
+ : ¬(n ∈ B)}
= {n ∈ Z
+ : ¬[n es par ∧ (n 6 20)]}
= {n ∈ Z
+ : ¬(n es par) ∨ ¬(n 6 20)}
= {n ∈ Z
+ : (n es impar) ∨ (n > 20)}= {1,3,5,7,9,11, . . .} ∪ {21,22,23,24, . . .}
= {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,22,23,24, . . .}
A \ B = {n ∈ Z
+ : n ∈ A ∧ n /∈ B}
= {n ∈ Z
+ : n ∈ A ∧ n ∈ Bc}
Universidad de C´adiz Departamentode Matem´aticas
2.1.1 Uni´on
La uni´on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A
o a B. Se nota A ∪ B.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
La disyunci´on,∨, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”.
2.1.2 Intersecci´on
La intersecci´on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
a A y a B.Se nota A ∩ B.
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Si A y B no tienen elementos en com´un, es decir, si A ∩ B = ∅, entonces diremos que A y B son
conjuntos disjuntos.
Ejemplo 2.1 Sean A, B y C tresconjuntos.
(a) Demostrar que si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ (A ∩ B), es decir, A ∩ B es el mayor conjunto que
contiene a A y a B.
(b) Demostrar que si C ⊇ A y C ⊇ B, entonces C ⊇ (A ∪ B), es decir, A ∪ Bes el conjunto m´as
peque˜no que contiene a A y a B.
Soluci´on
(a) Supongamos que C ⊆ A y C ⊆ B, entonces la proposici´on
∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ B)
es verdad. Esta proposici´on esequivalente a
∀x [(x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ (x ∈ C =⇒ x ∈ B)]
la cual, a su vez, equivale a
∀x, [ x ∈ C =⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B)]
de aqu´ı que
∀x, x ∈ C =⇒ x ∈ [(A ∩ B)]
y, por lo tanto,
C ⊆ A ∩ B
(b)...