Ode45 V1 Orfil

Soluci´on num´erica de ecuaciones diferenciales
ordinarias empleando MATLAB:Uso de la funci´on
ode45.
Orfil Gonz´alez Reynoso, Ph.D.
Universidad de Guadalajara, Depto. de Ing. Qumica
Version 1.0

23 de febrero de 2010

Introducci´on
El objetivo del presente trabajo es orientar al estudiante de Ingenier´ıa Qu´ımica inscrito en la clase de
Control de Procesos, en el uso de la funci´on ode45
deMATLAB, esta funci´on se emplea para resolver
num´ericamente ecuaciones diferenciales ordinarias.
Generalmente, este tipo de ecuaciones son encontradas al aplicar los principios de conservaci´on a cantidades fundamentales -masa, energ´ıa y momentum-,
a diferentes procesos qu´ımicos.
Para ejemplificar el uso de e´ sta funci´on, consideremos el proceso de dos tanques en serie como se
muestra en laFigura 1, donde un balance de masa es
aplicado a cada tanque del sistema.
Figura 1: Sistema de tanques en serie.

Obtenci´on de las ecuaciones diferenciales

Al realizar el balance de masa a cada tanque del
sistema se asume que los flujos de las corrientes
efluentes de cada tanque son proporcionales a la pre- afecta el flujo F , saliendo del tanque 1. Por tanto, al
2
si´on hidrost´atica del l´ıquido enel tanque correspon- realizar los balances de masa se obtiene el siguiente
diente. El a´ rea seccional del tanque 1 es A1 en (m2 ) sistema de ecuaciones:
y del tanque 2 es A2 , tambi´en expresada en m2 . En
los dos tanques los flujos F1 , F2 , y F3 tienen las unidh1
m3
A1
= F1 − F2 ,
(1)
dades de min
. Note que la altura en el tanque 2 no
dt
1

23 de febrero de 2010

Control de Procesos, IQ 210dh2
= F2 − F3 .
dt

(2)

y1 = f1 (t, y)

(9)

Asumiendo que los efluentes F2 y F3 , son proporcionales a la presi´on hidrost´atica del l´ıquido, e´ stos pueden ser expresados como F2 = α1 h1 y F3 = α2 h2 .
Por tanto, las ecuaciones 1 y 2, se expresan como:

y2 = f2 (t, y)

(10)

1
α1
F1 −
y1 (t)
A1
A1

(11)

α1
α2
y1 (t) −
y2 (t)
A2
A2

(12)

A2

donde
f1 =

dh1
= F1 − α1 h1 ,
(3)
dt
dh2
A2
= α1h1 − α2 h2 .
(4)
dt
Donde los coeficientes α1 y α2 , respresentan los
coeficientes de proporcionalidad con unidades de
m2
minuto . Por tanto, si deseamos resolver las ecuaciones 3 y 4 num´ericamente o anal´ıticamente es necesario espec´ıficar las condiciones iniciales de las dos
variables h1 , y h2 . En este ejercicio asumiremos que
h1 (t0 ) = 0,4m y adem´as que h2 (t0 ) = 0,4m, o en
formavectorial

y

A1

h0 = [0,70,4]T .

f2 =

Empleando la funci´on ode45 de MATLAB
Un m´ınimo de tres argumentos son necesarios para emplear la funci´on ode45 de MATLAB. Estos argumentos generalmente se indican en dos archivos
separados *.m de MATLAB.
ode45(@name,tspan,h0)

(5)

El primer argumento @name, es el nombre del archivo *.m donde se especif´ıcan las ecuaciones diferenciales, ecuaciones 7 y 8, y elcual es diferente al
archivo donde se indican los argumentos tspan y h0 .
Una v´ez que son establecidas las ecuaciones diEl argumento tspan es el vector donde se indica el
ferenciales a resolver y sus condiciones iniciales, es
tiempo de integraci´on del sistema de ecuaciones diimportante expresar e´ stas de tal forma que MATLAB
ferenciales; y h0 es el vector que contiene las condilas procesecorrectamente. En MATLAB, una ecuaciones iniciales de cada una de las variables de estado
ci´on diferencial se expresa como:
del sistema. Por tanto, para emplear la funci´on ode45
dos archivos *.m son requeridos, un archivo donde
m´ınimo se especifican el tiempo y las condiciones
y = f (t, y).
(6) iniciales del sistema y un segundo archivo, donde se
especif´ıcan generalmente las ecuacionesdiferenciaPor tanto, al volver a escribir las ecuaciones 3 y 4, en les y sus par´ametros. En este documento llamaremos
la forma de la ecuaci´on 6 se expresan como:
al primer archivo -programa principal-, como ejemplo.m y al segundo archivo como sistema1.m.
1
α1
dh1
=
F1 −
h1 ,
(7)
dt
A1
A1
Primer archivo (ejemplo.m)
dh2
α1
α2
Es importante que en este archivo se de informa=
h1 −
h2 .
(8)
dt
A2
A2
ci´on...