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Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
En términos de
















































De las definiciones de las funciones trigonométricas:


Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):




A veces es importante saber quecualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:


Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido elvalor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:


Ejemplo 2:

Utilizando la identidad



Entonces:
(*)substituyendo en (*):


Realizando las operaciones necesarias se llega a:



Y queda demostrado.
El resto de las funciones se realiza de manera análoga.
Teoremas de la suma y diferencia de ángulos[editar · editar código]
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y lasrestantes de la recíproca correspondiente.



De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:





Para ángulos complementarios:






Para ángulos opuestos:






Identidades del ángulo múltiple[editar · editar código]
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

Identidades del ángulo doble, triple y medio[editar · editar código]Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando laFórmula de De Moivre cuando .
Fórmula del ángulo doble




Fórmula del ángulo triple



 
Fórmula del ángulo medio




Producto infinito deEuler[editar · editar código]

Identidades para la reducción de exponentes[editar · editar código]
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno


Coseno



Otros



Paso de producto a suma[editar · editar código]
Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.




Deducción de la identidad[editar · editarcódigo]

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1): 
2): 
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3): 
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en ellado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

Simplificando el elemento sin(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuacionessimplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

Notar el cambio de signo.
Paso de suma a producto[editar · editar código]
Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:




Paso de diferencia de cuadrados a producto[editar · editar código]


Deducción
1) recordando: que cateto opuesto...