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MATEMÁTICAS II

1 - ESPACIO EUCLIDEO

1.

¿Para qué valores de a son ortogonales los vectores (a,-2,5) y (-a,3,a)?

2.

Calcula un vector que sea ortogonal a los vectores u=(1,0,1) y v=(1,1,1)

3.

Determina la norma de los siguientes vectores:
a)

b)

(-1,-1)

c)

(1,1,1)

d)

4.

(3,4)
(1,2,3)

e)

(1,2,3,4)

f)

(3,0,0,0)

Determina el ángulo que formanlos siguientes pares de vectores:
a)

b)

(1,1,0) y (1,2,1)

c)

5.

(1,0) y (2,2)
(1,0,0,0) y (1,1,1,1)

d)

(2,0) y (0,5)

b)

(2,5,3) y (-1,1,3)

Calcula la distancia entre los siguientes puntos:
a)

(2,1) y (3,-2)

6.

Estudia si los puntos (2,3) y (3,5) pertenecen a la bola de centro (1,2) y radio 2

7.

Estudia si los puntos (3,1,2) y (-5,3,3) pertenecen a labola de centro (1,-1,1) y radio 5

ESTUDIO TOPOLÓGICO DE U CO JU TO A ⊂ ℝ n
Complementario de A
A C = {x ∈ ℝ n / x ∉ A}

Interior de A
•

a es un punto interior de A si ∃r > 0 / B(a, r) ⊂ A (existe una bola centrada en él contenida en A)

•

El conjunto de puntos interiores se denomina interior de A: Int(A) ó A

•

TRUCO: Es la figura sin incluir los “bordes” ni los “puntossueltos”

o

Adherencia de A
•

a es un punto adherente de A si ∀r > 0, B(a, r) ∩ A ≠ ∅ (cualquier bola centrada en él tiene

puntos de A)
•

El conjunto de puntos adherentes se denomina adherencia de A: A

•

TRUCO: Es toda la figura incluidos los “bordes”.

Marcelo

1

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Frontera de A
•

 B(a, r) ∩ A ≠ ∅
a es un punto frontera de Asi ∀r > 0, 
(cualquier bola centrada en él tiene
C
B(a, r) ∩ A ≠ ∅
puntos de A y puntos que no son de A)

•

El conjunto de puntos frontera se denomina frontera de A: Fr(A)

•

TRUCO: Es el “borde” y los “puntos sueltos”

Puntos aislados
•

a es un punto aislado de A si ∃r > 0 / B(a, r) ∩ A = {a} (existe una bola centrada en él en la que
el único punto de A que hay es él mismo)•

El conjunto de puntos aislados se denomina conjunto aislado de A: Ais(A)

Puntos de acumulación
•

a es un punto de acumulación de A si ∀r > 0,  B(a, r) \ {a} ∩ A ≠ ∅ (cualquier bola centrada


en él tiene puntos de A, sin contarse a sí mismo)

•

El conjunto de puntos de acumulación se denomina conjunto derivado de A: A ′

•

A′ = A \ Ais(A)

Clasificación
•

A esabierto si A = Int(A)

•

A es cerrado si A = A

•

A es acotado si ∃B(a, r) / A ⊂ B(a, r)

•

A es compacto si es cerrado y acotado

8.

Haz un estudio topológico completo de los siguientes conjuntos de ℝ 2 :
a)

A = {(x, y) ∈ ℝ 2 / x 2 + y 2 < 4, x ≤ 0} ∪ {(1,1)}

b)

A = {(x, y) ∈ ℝ 2 / y ≥ x 2 , x + y ≤ 2}

c)

A = (x, y) ∈ℝ 2 / (x + 2) 2 + (y − 1)2 ≤ 9, y < x +1d)

A = {(x, y) ∈ ℝ 2 / y ≥ x 2 } ∪ {(x, y) ∈ ℝ 2 / x + 1 ≤ y}

e)

A = {(x, y) ∈ ℝ 2 / x 2 + y 2 < 2x, y ≤ x} ∪ {(0,0)}

f)

A = {(x, y) ∈ ℝ 2 / xy < 0, y < −2x 2 }

Marcelo

{

}

2

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9.

Di cuatro puntos distintos del segmento que une los puntos (1,1) y (5,3)

10.

Estudia si los puntos (-4,-1), (0,2) y (6,4) están en elsegmento que une (-6,-2) y (4,3)

11.

Estudia si los puntos (-3,2,0) y (0,1,0) están en el segmento que une(1,2,-2) y (-5,2,1)

12.

Estudia si los siguientes conjuntos son convexos:

b)

{
A = {(x, y) ∈ℝ

c)

El conjunto de puntos de ℝ 2 cuya 1ª coordenada es distinta de 3.

d)

A = (x, y) ∈ℝ 2 / y ≤ −6

e)

El conjunto de puntos de ℝ 2 tales que el producto de suscoordenadas es menor o igual

a)

}
+ 4x ≥ 1} , B = {(x, y) ∈ ℝ

A = (x, y) ∈ℝ 2 / x > 0,x + y ≤ 3

{

2

/ y − x2

2

/ y − x 2 + 4x < 1}

}

a que -3.
f)

El conjunto de puntos de ℝ 2 tales que el producto de sus coordenadas es menor o igual
a que 0.

{

}

g)
h)

13.

A = (x, y) ∈ℝ 2 / 4x − 6y = 3
A = {(x, y) ∈ ℝ 2 / y − x 2 = 1}

Di si las siguientes afirmaciones...