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MATEMATICAS
2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Derivadas

CIENCIAS

MaTEX
Derivadas

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo

c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004

Doc Doc
ISBN: 84-688-8267-4

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MATEMATICAS
2º Bachillerato

1. Introducci´n
o
1.1. El problema de latangente
• Idea intuitiva de la reta tangente • Ecuaci´n de la reta tangente
o
2. Definici´n de derivada en un punto
o
• Derivabilidad y continuidad • Derivadas laterales
3. Derivada en un intervalo
3.1. Funci´n Derivada
o
4. Reglas de Derivaci´n
o
• Derivada de una constante • Derivada de la potencia • Regla de
la suma • Regla del producto • Regla del cociente • Regla de la
cadena
5.Derivadas de las funciones trascendentes
• Trigonom´tricas • Exponenciales • Logar´
e
ıtmos • Derivadas Logar´
ıtmicas
6. Regla de la inversa
• Derivadas de Arcos trigonom´tricos
e
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

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Derivadas

Tabla de Contenido

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3

1. Introducci´n
o
Los cient´
ıficos de losultimos a˜os del siglo XVII dedicaron gran parte de
´
n
su tiempo y energ´ a resolver el problema de la tangente que tiene relaci´n
ıa
o
en cuestiones como las siguientes:
En ´ptica, el ´ngulo con el que un rayo de luz incide en una superficie
o
a
de una lente est´ definida en t´rminos de la tangente a la superficie.
a
e
En f´
ısica, la direcci´n de un cuerpo en movimiento en un punto desu
o
recorrido es la de la tangente en ese punto.
En geometr´ al ´ngulo entre dos curvas que intersecan es el ´ngulo
ıa,
a
a
entre las tangentes en el punto de intersecci´n.
o
¿C´mo encontraremos la ecuaci´n de la tangente? Usaremos el m´todo
o
o
e
ya desarrollado por Fermat en 1629.
El concepto de derivada es el fundamento del C´lculo. La definici´n de derivaa
o
da puede abordarsede dos formas. Una es geom´trica (como la pendiente de
e
una curva) y la otra es f´
ısica (como raz´n de cambio).
o

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2º Bachillerato
r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

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Derivadas

Secci´n 1: Introducci´n
o
o

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Secci´n 1: Introducci´n
o
o

4

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

1.1. El problema de la tangente

A

• Ideaintuitiva de la reta tangente

d

I

A

B
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Derivadas

Se llama tangente a una curva en un punto, a la recta que pasa por el
punto con la misma direcci´n que la curva.
o
¿Puede la recta tangente cortar a la curva en m´s de un punto?.
a
¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?.

Las figuras muestran la respuesta afirmativa aambas preguntas.
A continuaci´n veremos como se determina la pendiente de la recta tano
gente.
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Secci´n 1: Introducci´n
o
o

5

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

• Ecuaci´n de la reta tangente
o

A

Dada una funci´n y = f (x) y un punto A(a, f (a)) del grafo de la funci´n
o
o
se trata de determinar la pendiente de la recta tangente al grafo de lafunci´n
o
en el punto A. Consideremos la recta secante desde A a B. Siendo los puntos
A(a, f (a)) y B(a + h, f (a + h)),

f (x) B

d
B
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f (a + h) − f (a)
f
=
h
h
A medida que h → 0, B → A, y
definimos la pendiente de la tangente mtan como
m=

∆f
A
0←h

f (a + h) − f (a)
a
a+h
mtan = lim
h→0
h
Esta pendiente la escribiremos como f (a) quedandola ecuaci´n de la tano
gente de la forma
y − f (a) = f (a)(x − a)

Derivadas

la secante AB tiene pendiente

(1)

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Secci´n 2: Definici´n de derivada en un punto
o
o

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r=A+lu

2. Definici´n de derivada en un punto
o

A

Definici´n 2.1 Sea f una funci´n y a ∈ Dom(f ). Definimos derivada de f
o
o
en x = a al siguiente...