Olimpiada De Matematicas

EXAMEN PREPARATORIA

116.- En el rectángulo de la figura cuya base es doble que la altura, se construyen los dos cuadrantes de circunferenciamostrados y las circunferencias tangentes a ambos cuadrantes y a la anterior (excepto la primera que es tangente al lado superior del rectángulo). Sinumeramos las circunferencias en orden de tamaños decrecientes se pide demostrar que la expresión para el diámetro dn de la n-ésima circunferenciaes:



.- Demostrar que para todo entero n se cumple:
a) n3-n es divisible por 3.
b) n5-n es divisible por 5.
c) n7-n es divisible por 7..- Demostrar que para todo n entero positivo, el número 3n - 2n2 -1 es múltiplo de 8. Probar además que, si n no es múltiplo de 3, entonces 3n -2n2 -1 es múltiplo de 24.

Determina los lados del tri´angulo rect´angulo del que se conocen el per´ımetro,
p = 96, y la altura sobre lahipotenusa, h =96/5
R: 40, 32 y 24.


5. En un triángulo ABC la bisectriz del ángulo BCA corta a la circunferencia circunscrita en R (R≠C), a lamediatriz de BC en P y a la mediatriz de AC en Q. El punto medio de BC es K y el punto medio de AC es L. Sea A1 el área del triángulo RPK y A2 el áreadel triángulo RQL, entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) A1 = A2 b) A1 = 3A2 c) 2A1 = A2 d) A1 = A2 + 4A16. Sean a y b enteros positivos tales que 4ab-1 divide a 4a2-12. Entonces, se cumple que:

a) a = b b) a = b < 0 c) a2-3=b5-1 d) ab=-1