Olimpiada Estatal De Matem´Ticas A Estado De Hidalgo

Olimpiada Estatal de Matem´ticas a Estado de Hidalgo
Universidad Aut´noma del Estado de Hidalgo o Centro de Investigaci´n en Matem´ticas o a
Nombre del alumno: Semestre que cursa: ´ Institucion deprocedencia: Fecha de nacimiento: Sede: ´ Duracion del examen: Cuatro horas como m´ximo. a Indicaciones: ¡No borres tus intentos fallidos! Entrega junto con tu examen todo lo que hayas intentado:c´lculos, gr´ficas, tablas, esbozos, dibujos, etc. Todos los problemas tienen el mismo a a valor, independientemente de su grado de dificultad. Este examen contiene un total de seis problemas. . Nivel deSecundaria o Preparatoria

1.- Calcular el valor de √ 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 2003 + 2005 + 2007,

donde la suma dentro de la ra´ cuadrada es la suma de todos los n´meros impares del 1 ız u al 2007.2.- Encuentre el volumen de un cono truncado de altura 2, que tiene base inferior de radio 4 y base superior de radio 3 (ver la figura).

3.- Considere un tri´ngulo de lados a, b y c. Tome un puntoP cualquiera en el interior del a tri´ngulo y desde este punto trace segmentos perpendiculares a cada uno de sus lados. a Suponga que x, y y z son las longitudes de estos segmentos perpendiculares alos lados a, b y c, respectivamente. Demuestre que el ´rea A del tri´ngulo es igual a a a A= 1 (ax + by + cz) . 2

4.- Del siguiente diagrama calcule de cuantas maneras distintas se puede llegar delpunto A al punto B, respetando las direcciones de las flechas. • ~O o ~~ ~ ~ ~~ •o ~~ ~~~O ~~ ~ ~~ ~~~ ~ •o ~~ ~~ ~~O ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~ •o ~~ ~~~ ~~~ ~~~O ~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~O o ~~ ~ ~~ ~• ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ • ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~O o ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ • ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~O o ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ • ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~~O o ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ?~~ ?~~ ?~~ ?~~ ?~~ ?~~ ? ?~~ ~~ •o ? ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ O ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ / ~~ / ~~~ / ~~~ / ~~~ / ~~~ / ~~~ / ~~~ /...