Olimpiadas de matematicas

I Olimpíada Iberoamericana de Matemática Paipa y Villa de Leyva, Colombia 10 y 11 de diciembre de 1985

Problema 1 Halle todas las ternas de enteros (a, b, c) tales que: a + b + c=24 a2 + b2 +c2=210 a⋅b⋅c=440 Solución

((a + b + c ) ab + bc + ca =

2

− (a 2 + b 2 + c 2 ) = 183 2

)

Por lo tanto a, b, c son raíces de la cúbica x3 – 24x2 + 183x - 440 = 0. Al factorizar la expresiónanterior tenemos (x – 5)(x – 8)(x – 11) = 0, por lo que la solución son las permutaciones de (5, 8, 11).

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Problema 2 Sea P un punto interior del triángulo equilátero ABC tal que: PA = 5, PB = 7, y PC = 8 Halle la longitud de un lado del triángulo ABC. Solución

Sea x la longitud del lado.Usando la formula del coseno, tenemos Cos APB = Pero

74 − x 2 89 − x 2 113 − x 2 , Cos APC = , Cos BPC = . 70 80 112

Cos BPC = Cos APC Cos BPC – Sen APC Sen BPC

Entonces

⎛ ⎛ 74 − x 2 ⎞ 2⎞⎛ ⎛ 89 − x 2 ⎞ 2 ⎞ 113 − x 2 74 − x 2 89 − x 2 ⎟ ⎟. ⎟ ⎟⎜1 − ⎜ = ⋅ − ⎜1 − ⎜ ⎜ ⎜ 70 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 80 ⎟ ⎟ 112 70 80 ⎠ ⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎝ ⎝ ⎝

Ahora resolvemos el término de la raíz cuadrada. Multiplicamos por 25, 256, 49 ydespués de simplificar, tenemos x6 - 138x4 + 1161x2 = 0. Entonces x = 0, ±3, ± 129 . Descartamos el cero y las soluciones negativas. x = 3 corresponde a un punto P fuera del triángulo. Así que laúnica solución para un punto P en el interior del triángulo es x = Solución alternativa por Johannes Tang Rotar el triángulo sobre C a 60°. Dejar P ir a P'. Tenemos AP’ = 7, CP’ = 8 y ángulo PCP’ = 60°,así que PP'C es equilátero. Por lo tanto ángulo CPP’ = 60°. También PP’ = 8. Usando la fórmula del coseno en el triángulo APP’ encontramos ángulo APP’ = 60°. Por lo tanto ángulo APC = 120°. Ahoraaplicando fórmula del coseno al triángulo APC, conseguimos resultado.

129 .

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