olimpiadas matematica onem 2009

Ministerio
de Educaci´
on

´
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA
(ONEM 2009)

Sociedad Matem´
atica
Peruana

Cuarta fase - Nivel 3
29 de noviembre del 2009
- La prueba tiene unaduraci´on m´axima de 4 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entregasolamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. Para cada entero positivo n, sea c(n) la cantidad de d´ıgitos de n. Sea A un
conjuntode enteros positivos con la siguiente propiedad: Si a y b son dos elementos
distintos de A, entonces c(a + b)+2 > c(a)+ c(b). Halle la mayor cantidad de elementos
que puede tener A.
Problema 2.En un cuadril´atero ABCD, se inscribe una circunferencia que es tangente a
los lados AB , BC , CD y DA en los puntos M , N , P y Q, respectivamente. Si
(AM )(CP ) = (BN )(DQ), pruebe que ABCD esun cuadril´atero inscriptible.
Problema 3.
a) Sobre una circunferencia se marcan 8 puntos. Decimos que Juliana hace una “operaci´on T” si escoge tres de dichos puntos y pinta los lados deltri´angulo que determinan, de modo que cada tri´angulo pintado tenga a lo m´as un v´ertice en com´
un
con un tri´angulo pintado anteriormente. ¿Cu´al es la mayor cantidad de “operaciones T” que puedehacer Juliana?
b) Si en la parte (a), en vez de considerar 8 puntos se consideran 7 puntos, ¿cu´al es
la mayor cantidad de “operaciones T” que puede hacer Juliana?
Problema 4. Sea n un enteropositivo. Una cuadr´ıcula rectangular de 4 × n, es dividida
en rect´angulos de 2 × 1 ´o 1 × 2 (como si fuera completamente cubierta con fichas de
domin´o, sin superposiciones ni huecos). Luego sepintan de rojo todos los puntos de la
cuadr´ıcula que son v´ertices de alguno de los rect´angulos de 2 × 1 ´o 1 × 2. ¿Cu´al es la
menor cantidad de puntos rojos que se puede obtener?

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