oliwis

INCURSIONES PASCALIANAS 02
(Pascal y Newton un encuentro imaginario)

Su padre, un granjero, murió unos meses antes de que Isaac naciera. Su madre luchó por sacar adelante la granja de la familia en Woolsthorpe, una aldea a 150 kilómetros al norte de Londres. Inglaterra vivía tiempos difíciles. Una guerra civil había empezado en 1642 en Nottingham, no lejos de Woolsthorpe. En 1646 su madrevolvió a casarse, dejando a su hijo con sus abuelos.

A los doce años fue inscrito en la escuela primaria de Grantham. Allá estudió latín -el idioma de la gente instruida - y la Biblia, y tuvo poco contacto con las matemáticas o las ciencias. El joven Newton vivía en la casa de William Clarke, el farmacéutico de la ciudad, que tenía una de las mejores bibliotecas del lugar y una hermosa hijastra,con la Newton tuvo un romance adolescente, el primero y último de su vida. Se llevaba mal con los demás muchachos de la escuela, que al parecer lo encontraban extraño y demasiado listo.

Habiéndose matriculado en la universidad, Inglaterra fue golpeada por la peste bubónica, ocasionada por el exceso de ratas. La universidad cerró temporalmente mientras sus estudiantes huían a regiones ruralesmenos afectadas. Newton regresó a Woolsthorpe, visitando Cambridge de tanto en tanto para usar su biblioteca. Allí, puso a trabajar su poderoso intelecto en una amplia gama de problemas científicos y matemáticos, sentando las bases para lo que sería toda su investigación futura: construyó un telescopio de reflexión, inició sus trabajos sobre gravitación, y comenzó a pensar en una nueva rama de lamatemática que más tarde pasaría a llamarse Cálculo Integral.

Problema 1. Sean a y b dos números reales cualesquiera.
Desarrollar cada uno de los siguientes binomios:

(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

Sabiendo que para todo número natural n se cumple:


Problema 2. Desarrollar cada uno de los siguientes binomios:

(a + b)3 y(a + b)4


Desarrollo:

Problemas

3. Vincular los anteriores desarrollos con el Triángulo de Pascal (vincula la letra a con la orilla izq. del TP y la letra b con la orilla der.)

4. Extender los desarrollos anteriores a los casos n = 8 y n = 9.

5. Revisar casos en que la adición se cambia por sustracción.
6. Desarrollar casos del tipo (2a – 5b)n. Elegir variables a, b y n.Nota: ¿Qué aplicación puede hacerse de: ? Experimentar.

Un par de Visualizaciones

Visualización Uno
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2


Visualización Dos
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2+ b3





Problemas
7. ¿Cuánto suman los coeficientes en el desarrollo de (a + b)4?
8. ¿Cuál es el término central en el desarrollo de (a + b)6?
9. ¿Cuáles son los términos centrales en el desarrollo de (a+ b)5?
Ayuda

Los coeficientes que aparecen el desarrollo de (a + b)4 pueden hallarse en la fila 4 del Triángulo de Pascal: 1- 4 - 6 - 4 – 1, luego su suma es 16 = 24.
El desarrollo de (a + b)6 contiene 7 términos y el central es 20a3b3.
El desarrollo de (a + b)5 no tiene un término central, pero se puede decir que hay dos que hacen de centrales: 10a3b2 y 10 a2b3.


Otra presentación dela Visualización 2:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/historia/indhistoria.html
http://mariomarin-poliedros.blogspot.com/2009/06/blog-post_10.html



Problema 10. Desarrollar los binomios (2x + y)3 y (2x - 3y)5
Comprobar luego resultado en la máquina “on line” de la dirección:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/binomio.html

Observación retrospectiva:
Si recordamos la propiedad 7 del TP presentada en una clase anterior, las filas de este arreglo consideradas como números escritos en el sistema de base 10, resultan ser potencias de 11. Para aclarar esto miremos el caso de la fila 4:
Se sabe que (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2 b2 + 4ab3 +...