ondas acoplado

Oscilaciones y Ondas

´ DE UN SISTEMA ACOPLADO
MODOS NORMALES DE OSCILACION
POR RESORTES.
YAMID VARGAS RAM´IREZ1
Universidad Distrital Francisco Jos´e de Caldas
(Dated: 11 de junio de 2015)

En el presente informe se hace un desarrollo te´orico experimental de un sistema de tres osciladores
acoplados por resortes; se muestran los resultados de frecuencia de oscilaci´on obtenidos en ellaboratorio
concluyendo con la obtenci´
on de los modos normales del sistema.
Palabras clave: Osciladores acoplados, frecuencia de oscilaci´on
In this report an experimental theoretical development of a system of three coupled oscillators is done by springs; the oscillation frequency results obtained in the laboratory ending with obtaining normal
modes of the system shown.
Keywords: Coupled oscillators,oscillating frequency
El sistema que se ha utilizado consta de cuatro
resortes de constantes muy parecidas que est´
an
acoplados con masas iguales, las cuales est´
an ubicadas sobre un riel de aire, con el cu´
al se ha asumido que no se tiene fuerza de fricci´
on sobre la
superficie; adem´
as se ha asumido despreciable el
amortiguamiento del aire, ya que nuestro objetivo
principal es identificar losmodos normales de oscilaci´
on con ayuda de las frecuencias del sistema,
mas no la evoluci´
on del mismo en el tiempo (cada
modo normal ocurre en un intervalo de tiempo
muy corto, por lo cual podemos asumir nula la
fuerza hecha por el aire).
M´
etodo
Una vez hecho el montaje en el laboratorio, se
han puesto a oscilar las masas y con la ayuda de
un estroboscopio se han identificado las frecuenciascorrespondientes de cada uno de los modos
normales de oscilalci´
on. Esto se consigue variando la frecuencia de parpadeo de la luz; el modo
normal se puede identificar cuando con el parpadeo de la luz, una o varias masas se observan en
la misma posici´
on, es entonces el valor de la frecuencia del modo normal la lectura indicada en el
estroboscopio.

I.

´ TEORICA
´
SOLUCION
.

Para elplanteamiento te´orico del sistema, asumimos
que x3 > x2 > x1 , siendo esta la forma en la que se puso
a oscilar el sistema en el laboratorio.
Se escriben las ecuaciones de de aceleraci´
on (segunda ley de Newton) para cada una de las masas y
teniendo como hecho que solo hay movimiento en el eje
X, las masas y las contantes de los resortes son iguales,
as´ı:
mx¨1 = −kx1 + k(x2 − x1 )
mx¨2 = −k(x2 − x1) + k(x3− x2 )
mx¨3 = −kx3 + k(x3 − x)

(1)

Hasta ahora como hemos descrito nuestro sistema, este
tiene la soluci´on de un movimiento arm´onico simple, x =
Acos(wt), con lo cual, haciendo las respectivas derivadas
y reemplazando en (1) obtenemos:
mw2 A1 = −kA1 − k(A2 − A1 )
mw2 A2 = −k(A2 − A1 ) − k(A3 − A2 )

(2)

2

mw A3 = −kA3 − k(A3 − A2 )
El sistema (2) puede ser escrito matricialmente como:
2k
m

k
−m

0






 k 2k
k
−
−


m
m
m
M =



 0 − k 2k 
m
m

(3)

Al hacer |M − w2 I| = 0 se obtiene:
Figura 1.

−w2 (

2k
2k
k
− w 2 )2 + (
− w)( )2 = 0
m
m
m

(4)

Oscilaciones y Ondas

2

Al solucionar el sistema (4) se obtiene:
2k
W12 =
√ m
(2 + 2)k
W22 =
m
√
2)k
(2
−
2
W3 =
m

(5)

De esta forma, al poner a oscilar nuestro sistema acoplado, podemos leer directamente lafrecuencia del modo
normal al graduar el estroboscopio de manera ya descrita.
El modo normal, debe ser capturado en el menor tiempo
posible luego de iniciada la oscilaci´on, para esto se puede reiniciar el movimiento de la masas cuantas veces se
necesario siempre y cuando las xn sean las mismas.
Las lecturas correspondientes de cada modo normal en
el estroboscopio, son:

Ahora se reemplazan los datos denuestro sistema que
N
son m = 0, 1kg y k = 27 m
en (5) y se obtiene:

W1 = 25,02s−1

W1 = 23,23s−1

W2 = 30,33s−1

−1

−1

(8)

(6)

W3 = 15,23s
y los correspondientes modos normales de oscilaci´
on
observados en el laboratorio (**):

por u
´ltimo, los vectores normales, obtenidos a partir
de reemplazar wn2 en (M − wn2 )v = 0 son:
√
v1 = (1, − 2, 1)
v2 = (−1, 0, 1)
(7)
√
v3 = (1, 2, 1)

1. Las...