Ondas en dos y tres dimensiones

Ondas en dos y tres dimensiones
Hasta ahora hemos visto que el comportamiento de un sistema unidimensional discreto de osciladores arm´nicos o acoplados separados una distancia “peque˜a” comparada con las dimensiones de todo el sistema y la longitud n de onda, obedece la ecuaci´n de ondas cl´sicas. Surge la pregunta ahora de ¿c´mo es la ecuaci´n de ondas o a o o que obedecer´ un sistemabidimiensional o tridimensional?. En lo que sigue deduciremos la ecuaci´n ıa o de ondas en dos dimensiones y dejamos como ejercicio hacerlo para tres dimensiones. Considere un “cubrecamas” estirado sobre el plano xy sometido en equlibrio a una tensi´n superficial T0 que o act´a como una fuerza por unidad de longitud y es perpendicular a cualquier linea considerada. De esta manera, u las fuerzas a la queest´ sometido un elemento de ´rea ∆a = ∆x∆y se indica en la figura a a

Supongamos que en algun punto del cubrecamas “alguien” lo hace oscilar en la direcci´n del eje z. Por exo periencia, usted notar´ que no solo el punto donde se perturba, sino todo el cubrecamas oscila hacia arriba y a hacia abajo segun la direcci´n de z. Si usted quisiera describir matem´ticamente el movimiento del cubrecamas oa lo primero que se le ocurrir´ (probablemente) ser´ asignar a cada punto una amplitud ψ(x, y, t) y encontrar a a la ecuaci´n diferencial que ´sta obedece y que describe la din´mica del sistema. Para encontrar tal ecuaci´n o e a o consideremos el elemento de ´rea ∆a = ∆x∆y del cubrecamas fuera del equlibrio a

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La pregunta que surge es ¿qu´ fuerza neta act´a ahora sobre el elemento de´rea?. Si hacemos un corte e u a transversal de la situaci´n en el plano xz, encontramos que sobre ∆x act´a T1x senθ1x − T2x senθ2x en la o u direcci´n de z y T1x cosθ1 − T2x cosθ2 en la direcci´n de x. o o

Ahora bien, si el movimiento es solo transversal tendremos que T1x cosθ1x = T2x cosθ2x = T0 ∆y por lo que podemos escribir T1x senθ1x − T2x senθ2x = T0 ∆y(tanθ1x − tanθ2x ) = T0 ∆y( 2 ∂ψ ∂ψ ∂2ψ(x + ∆x) − (x)) = T0 2 ∆x∆y ∂x ∂x ∂x

De la misma manera si hacemos un corte transversal en el plano yz tendremos T1y senθ1y − T2y senθ2y = T0 ∆x(tanθ1y − tanθ2y ) = T0 ∆x( ∂ψ ∂ψ ∂2ψ (y + ∆y) − (y)) = T0 2 ∆x∆y ∂y ∂y ∂y

de manera que por segunda ley de Newton m ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ = T0 ( 2 + )∆x∆y ∂t2 ∂x ∂y 2 T0 ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂2ψ = ( + ) ∂t2 σ ∂x2 ∂y 2 De esta manera σ ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ + = ∂x2 ∂y 2 T0 ∂t2de donde
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pero m = σ∆x∆y (suponiendo la masa uniformemente distribuida) por lo que

ψ=

1 ∂2ψ v 2 ∂t2

con v 2 =

T0 σ

Ondas viajeras circulares en dos dimensiones
El medio de propagaci´n que utilizaremos para introducir ondas en dos dimensiones circulares ser´ el de la o a superficie de agua en un estanque (con bordes muy alejados). Consideremos un transmisor colocadoperpendicularmente sobre la superficie del agua. Supongamos que el transmisor oscila arm´nicamente con frecuencia ω y o est´ colocado en r = 0 de manera que ah´ a ı, D(t) = Acos(ωt) 3

¿C´mo es el movimiento de las partes m´viles en r = 0 o o Por experiencia sabemos que (si el medio es homog´neo), se formar´n circulos conc´ntricos con or´ e a e ıgen en r = 0 y de radio r. Estos c´ ırculos conc´ntricoscorresponden a los m´ximos de la onda viajera que se forma y se le e a llama frente de onda. La forma funcional que tiene esta onda bidimensional la encontramos de la ecuaci´n o de ondas. Como el sistema goza de simetr´ suficiente podemos escribir el laplaciano en coordenadas polares de ıa manera 1 ∂2ψ ∂ 1 ∂ψ ( )= 2 2 ∂r r ∂r v ∂t cuya soluci´n son las (no triviales) funciones especiales de Bessel. o¿Qu´ caracteristicas tienen estas ondas? e Aun sin escribir expl´ ıcitamente la soluci´n de la ecuaci´n diferencial podemos explorar varios aspectos de las o o soluciones ya que sabemos f´ ısica. Es claro que para un mismo radio las partes m´viles del sistema deben tener o la misma energ´ Ahora bien, el transmisor le entrega al sistema una cantidad de energ´ cada ciclo la cual ıa. ıa debe...