Ondas Esf Ricas

Ondas Esféricas
Hemos visto que hay soluciónes de la ecuación de onda que corresponden a ondas planas, y cualquier onda electromagnética puede ser descrita como una superposición de muchas ondasplanas. Sin embargo, en algunas ocasiones es más conveniente expresar estas soluciones en una forma matemática distina. Revisaremos las ondas esféricas, que son ondas que corresponden a superficiesesféricas que se estan esparciendo desde un origen. Sea  la distancia radial desde el origen, donde 
Para poder encontar la función  que satisface la ecuación de onda, necesitamos una expresión para elLaplaciano de . Esta es

o la expresión que es equivalente

Si queremos considerar campos con simetría esférica que se propagan como ondas esféricas, nuestro campo debe ser una función de r y t. Ahora,¿Qué función  satisface la ecuacion tridimensional:
 ?
Sustituyamos la expresion que hemos encontrado para el laplaciano, solo cambiando la deriada total respecto a r por una derivada parcial, yaque  también depende del tiempo.

Ahora debemos resolver esta ecución. Si la multimplicamos por r obtenemos

Esta ecuación nos dice que la función  satisface la ecuación de onda en una dimensión, ademássabemos que si  es solo funcion de (r-ct), entonces será solución de la ecuación de onda. Entonces, las ondas esféricas tendrán la forma , despejando para :

Una función de este tipo representa una ondaesférica viajando hacia afuera del centro con una velocidad c. A diferencia de las ondas planas que se propagan con amplitud constante, el factor (1/r) nos dice que la amplitud de las ondas esféricadecrece. Este efecto tiene una sencilla explicación física. Sabemos que la densidad de energía de una onda depende del cuadrado de la amplitud de la onda. Mientras la onda se esparce, la energía se esparcesobre áreas más y más grandes, proporcionales a . Si la energía total es conservada, la densidad de energía debe caer como  , y la amplitud de la onda debe decrecer como (1/r).
Mencionaremos...