Ondas mecanicas

ONDAS MECÁNICAS.

MOVIMIENTO OSCILATORIO.
Movimiento periódico. Cuando un cuerpo regresa a cierta posición después de un tiempo específico, por ejemplo: la tierra regresa a la misma posición en el espacio al transcurrir un año, la luna ocupa el mismo lugar en el firmamento a la misma hora cada noche, los pulsos de voltaje que alimentan un circuito tienen el mismo valor cada intervalo detiempo, etc. Movimiento oscilatorio. Cuando un cuerpo se mueve alrededor de un punto de equilibrio estable, el movimiento puede ser periódico o no, por ejemplo: un columpio se mueve alrededor de su punto de equilibrio que es cuando está en reposo, un péndulo, un amortiguador de automóvil, etc. El estudio del movimiento oscilatorio es la base para entender las ondas electromagnéticas, los circuitos decorriente alterna, la teoría de control automático, etc.

Movimiento armónico simple (MAS).
En un MAS la fuerza siempre será proporcional al negativo del desplazamiento que produce.

F ∝ −x
El ejemplo más simple de un MAS es el producido en un resorte, debido a la ley de Hook
F = −kx

k = constante de rigidez del resorte si la rigidez del resorte aumenta, k aumenta. El signo negativo indicaque F es una fuerza restauradora, es decir, que busca llevar al resorte a su posición de equilibrio. En la posición de equilibrio se considera x = 0, cuando se comprime el resorte el desplazamiento tiene un valor negativo (-x) y cuando el resorte se estira el desplazamiento es positivo (+x). En un MAS la aceleración también es proporcional a su posición y tiene dirección opuesta al desplazamientoa partir del punto de equilibrio. De la segunda ley de Newton se sabe que

∑F

x

= max y como F = −kx , entonces

max = − kx , despejando la aceleración ax = −

k x m
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que es igual a la derivada de la velocidad con respecto a t, ax =

dv d 2 x = dt dt 2

d 2x k por lo que tenemos la expresión 2 = − x que es la forma general del MAS y es una dt m ecuacióndiferencial homogénea de segundo grado con coeficientes constantes si hacemos ω 2 =
x′′ + ω 2 x = 0

k d 2x entonces podemos resolver 2 = −ω 2 x m dt

λ2 + ω2 = 0

λ = ωi , donde si sabemos que λ = α ± β i podemos expresar la solución como

x = ae(

α + β i )t

+ be(

α − β i )t

, donde a y b son constantes

por el teorema de Euler ( eθ i = cos θ + senθ i ) podemos escribir lasolución de la siguiente forma x = eα t ( c1 cos β t + c2senβ t ) , donde α = 0 y β = ω. Finalmente, x = c1 cos ωt + c2senωt se puede reescribir como x = A cos (ωt + φ ) Para comprobar que x = c1 cos ωt + c2senωt es igual a x = A cos (ωt + φ ) utilizamos la

identidad trigonométrica x = A [ cos φsenωt + senφ cos ωt ] y tenemos que podemos expresar todo como x = c1 cos ωt + c2senωt

x = A cos(ωt + φ ) = A cos φ senωt + Asenφ cos ωt , como A cos φ y Asenφ son constantes

x ( t ) = A cos (ωt + φ )

Función de posición con respecto al tiempo para un MAS

A = Amplitud [m] Desplazamiento máximo xmax respecto a la posición de equilibrio.

ω = Frecuencia angular [

rad ] s Rapidez de oscilaciones, a mayor ω, mayor número de oscilaciones por unidad de tiempo.

NOTA: Todos loscálculos deben ser realizados en radianes, por lo que si se utilizan grados o se mezclan unidades se obtendrán resultados erróneos.

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Como el seno y el coseno tienen periodos de 2π, el T del MAS es

cos ( t ) = cos ( t + T ) cos (ωt ) = cos (ωt + ωT )

ωT = 2π
T= 2π

ω

Periodo del MAS.

Como la frecuencia (f) está definida como el inverso del periodo T, está dada porf = 1 ω = T 2π

Frecuencia del MAS.

La frecuencia angular (ω) al ser inversamente proporcional al periodo T determina la velocidad de repetición de la señal o del fenómeno. cos(t)

cos(2t)

el periodo de esta señal es la mitad del periodo de la función cos(t)

φ = Constante de fase [rad]

Desplazamiento en el tiempo que tiene la señal con respecto a cos(ωt)

T = Periodo [s]...