ondas mecanicas
1) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 4, -9); B (10, 14, -2)
de A a B
V=A-B
Solución
a1= ( x2 –x1 )=(10-1)=9
a2= ( y2 –y1 )=(14-4)=10
a3= ( z2 –z1 )=(-2+9)=7
Vector director de la recta
FORMA SIMETRICA
x 1 y 4 z 9
9
10
7
2) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, 2, 1); B (-7, 2, 5)
Solucion
de A aB
V=A-B
a1= ( x1 –x2 )=(4+7)=11
a2= ( y1 –y2 )=(2-2)=0
a3= ( z1 –z2 )=(1-5)=-4
FORMA SIMETRICA
x7 z 5
, y2
11
4
3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 2, 3); B (-6, 4, -3)
de A a B
V=A-B
a1= ( x2 –x1 )=(-6-1)=-7
a2= ( y2 –y1)=(4-2)=2
a3= ( z2 –z1 )=(-3-3)=-6
FORMA SIMETRICA
x 1 y 2 z 3
7
2
6
1
ECUACION DE LA RECTA EN FORMAPARAMETRICA
ENCONTRAR LAS ECUACIONES PARAMETRICAS DE LA RECTA QUE PASA
POR LOS PUNTOS:
1) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 5); B (6, -1, 8);
Solución
si a = A-B se toma como referencia a B
(x, y, z)= (2+ t (6-2), 3+ t (-1-3), 5+ t (8-5))
(x, y, z)= (2+ t (4),
3+ t (-4),
5+ t (3))
x = 2+4 t;
y = 3 - 4 t; Ecuaciones Parametricas
z = 5+3 t;
2) Ecuación de la rectaque pasa por los puntos A (1, 0, 0);
B (3, -2, -7)
Solución
(x, y, z)= (1+ t (3-1), 0+ t (-2-0), 0+ t (-7-0))
(x, y, z)= (1+ t (2), t (-2),
t (-7))
x = 1+2 t;
y = - 2 t;
Ecuaciones Parametricas
z = -7 t;
3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5, -2, 4); B (2, 6, 1)
Solución
(x, y, z) = (5+ t (2-5), -2+ t (6+2), 4+ t (1-4))
(x, y, z) = (5+ t (-3), -2+ t (8),
4+ t (-3))
x= 5-3 t;
y = - 2 +8t; Ecuaciones Parametricas
z = 4-3 t;
4) Obtener las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por P(6, 4, -2) y es
paralela a la recta x 1 y z 5 t
2
Solución
t = x/2;
3
6
t = 1-y / 3;
t = z-5 /6;
x = 6+2 t;
y = 4 – 3 t; ecuaciones Parametricas
z = -2+6 t;
2
ECUACION EN FORMA VECTORIAL DE LA RECTA
1) Ecuación de la recta que pasapor los puntos P (1, 2, 1);
Q (3, 5, -2);
a =Q– P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )
(x, y, z)= P + t a
a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)
(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)
2) Ecuación de la recta que pasa por los puntos P (10, 2, -10); Q (5, -3, 5);
a =Q – P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )
(x, y, z)= P0 + t a
a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)
(x, y, z)= (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)
Ecuación vectorial
Ecuaciones para métricas
3
Ecuaciones simétricas
1
3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos P ,
2
1
3
, 1 Q ,
2
, 2
5
1
,
2
2
Z
Q
P
3 1
a = P-Q = ,
2 2
1
(x, y, z) = ,
2
5 1
1
, 1 =
2 2
2
3
2, 3,
2 vector
1
3
,1 + t 2, 3,
2 Ecuación de la recta
2
4
A) Calcular el punto de intersección entra La y L b
La
x1 = 4 + t
y1 = 5 + t
z 1=-1 + 2t
Lb
4 + t = 6 + 2s
condición inicial: x1 =x2; y1 =y2; z1 =z2
(1)
5 + t = 11 + 4s
-1 +2t= -3 + 5s
x2 = 6 + 2s
y2 = 11 + 4s
z2 =-3 + s
(2)
(3)
despejar t en ecuación (1)
t = 6+2s-4= 2+2s
Sustituyo t en (2)5+(2+2s)=11+4s
7+2s=11+4s
s= -2
El Punto de Intersección es: (2, 3, -5)
sustituyo en Lb a s
x = 6+2(-2)= 2
y =11+4(-2)= 3
z = -3+(-2) = -5
La
x = 2, y =3, z =-5
B) Hallar el ángulo entre dos rectas La y Lb
La
x=4- t
y = 3 + 2t
z = -2t
Lb
x = 5 + 2s
y = 1 + 3s
z = 5 - 6s
cos
para La
para Lb
a = (-1, 2, -2)
a = ( 2, 3, -6)
a b 2 6 12 16
a b3*7
21
cos 1
16
40.36
21
1.- Encuentra las ecuaciones para métricas de la recta que es tangente la curva dada.
r(t)=(3sent)i+(3cost)j+4tk
r’(t)=3costi-3sentj+4k
x=3cost; y=-sent; z=4
t=0
cos0=1; sen0=0
x=3; y=0; z=4
5
Ecuación de la recta
Encuentre las ecuaciones paralelas, Simétricas y la ecuación vectorial para
cada una de las rectas:
A) pasan por el...
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