Ondas Planas

Ondas Planas

Campos y Ondas
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
ARGENTINA
CAMPOS Y ONDAS

ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN EL ESPACIO LIBRE.
• * El espacio libre es un medio HOMOGÉNEO, permitividad,
permeabilidad y la conductibidad son constantes.
• * ISOTRÓPICO, la permeabilidad como la permitividad son
escalares y no tensores.
• La CONDUCTIBIDAD es nula .
• PERMITIVIDAD Y LAPERMEABILIDAD son iguales a aquellas
correspondientes al VACIO.
•

Como se puede inferir, la definición de espacio libre coincide con
aquella correspondiente a un dieléctrico perfecto

CAMPOS Y ONDAS

Las ecuaciones de Maxwell

∂B
∇×E = −
∂t

∇⋅ D = ρlibre

D = εE
B = µH

J = σE

CAMPOS Y ONDAS

∇×H = J+

∂D
∂t

∇⋅B = 0

Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre resultan

∇⋅E = 0

∇⋅H = 0∂H
∇ × E = −µ
∂t

∂E
∇×H = ε
∂t

• espacio libre en este caso, exento de cargas y
corrientes de conducción
• Simetría en las expresiones de los rotacionales de los
campos E y H
• origen a la propagación de ondas electromagnéticas.
• De esta forma ambos campos se van generando
mutuamente mientras se propagan, transportando
energía electromagnética en dicha propagación
CAMPOS Y ONDAS

• Si se aplica eloperador rotor a la ecuación que
expresa el rotacional del campo eléctrico E,
⎛
∂H⎞
∂
⎟⎟ = − µ (∇ × H )
∇ × (∇ × E ) = ∇ × ⎜⎜ − µ
∂t ⎠
∂t
⎝

∇ × (∇ × E ) = ∇ (∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E
Y se tiene en cuenta además que la divergencia del campo eléctrico es
nula, ya que el medio, espacio libre, esta exento de carga, se obtiene el
siguiente resultado:

∇ × (∇ × E ) = −∇ 2 E = − µ

CAMPOS Y ONDAS

∂
(∇ × H )∂t

∇ 2E = µ

∂ ⎛ ∂E⎞
⎜⎜ ε
⎟⎟
∂t ⎝ ∂t ⎠

Ecuaciones de la ONDA
2
E
∂
∇ 2 E = µε
∂t2

∂ (∇ × E )
∇ × (∇ × H ) = ε
∂t

∂H
∇ × ( ∇×H ) = ∇ ( ∇⋅H ) − ∇ H = −εµ
∂t
2

0

∂ 2H
∇ H = µε
∂t 2
2

CAMPOS Y ONDAS

ONDA PLANA.

• CASO a considerar:
• LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO DEPENDAN
SOLAMENTE DE UNA DIRECCIÓN ESPACIAL
• Ambos campos no posean componentes según esa
dirección (dirección de propagación dela onda
electromagnética).
•

ESTE COMPORTAMIENTO CORRESPONDE, POR
DEFINICIÓN, A LA PROPAGACION DE UNA ONDA
PLANA.

CAMPOS Y ONDAS

ONDA PLANA.
• Propagación en la dirección de x

Ex = 0
∂ Ey
≠0
∂x
∂ Ey
=0
∂y

∂E y
∂z

=0

Ey ≠ 0

Ez ≠ 0

Hx = 0

Hz ≠ 0

Hy ≠ 0

∂ Ez
≠0
∂x

∂ Hy
≠0
∂x

∂ Hz
≠0
∂x

∂ Ez
=0
∂y

∂ Hy
=0
∂y

∂ Hz
=0
∂y

∂ Ez
=0
∂z

∂ Hy
=0
∂z

y

∂ Hz
=0
∂z

Ey

Ez

z

CAMPOS YONDAS

x

ONDA PLANA.
•
•

En una onda plana uniforme E y H se ubican en un plano y
tienen los mismos valores en todas las partes de ese plano
Una onda de este tipo E y H tienen dirección transversal a la
propagación, TEM (Transversal electromagnética)

Ey

Dirección de propagación
x

Ez

Ey

z

∂ Ey
≠0
∂x
Hz ≠ 0

y

z

CAMPOS Y ONDAS

Ex = 0

Ey ≠ 0

y

∂ Hz
=0
∂y

x

∂ Ey
=0
∂y

Hx = 0

Ez = 0
∂Ey
∂z

=0

Hy = 0

∂ Hz
= 0 ∂ Hz ≠ 0
∂z
∂x

∂ 2Ey
∂x

2

∂ Hy

= µε

2

∂ x2
•

∂ 2Ey
∂t2

∂ Hy
2

= µε

∂t2

∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
= µε
2
∂x
∂t2
∂ 2 Hz
∂ 2 Hz
= µε
2
∂x
∂t2

Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales de segundo orden,
cuya solución general es, para una de ellas, la siguiente:

E = f 1 ( x − vt ) + f 2 ( x + vt )

v=

1

µε

• Siendo f1 y f2 dos funciones cualesquiera (nonecesariamente
idénticas), cuyas variables independientes son (x-vt) y (x+vt)
respectivamente, siendo x la dirección de propagación de la onda,
v la velocidad de propagación, y t el tiempo.

CAMPOS Y ONDAS

•

•
•

Una onda puede definirse como un fenómeno físico que, ocurriendo en un
dado lugar y en un determinado tiempo, se reproduce en otros lugares a
otros tiempos,
La diferencia de tiempo proporcionales alas diferencias de distancias.
Esta definición no implica de por sí que dichas ondas sean fenómenos
repetitivos, aunque no prohíbe tal condición. Por otra parte, la variación
de la onda queda confinada a una sola dimensión, aquella en la cual se
propaga.
f 1 ( x - v t 1)

x
f1 ( x - v t 2 )

x
v (t 2 - t 1 )
CAMPOS Y ONDAS

• La solución general de la ecuación de onda, esta
compuesta por...