Ondas
Profesor: Phd Cesar Torres
Estudiante: Ramón Alexis Alvarez
Las ecuaciones de Maxwell para medios isótropos, no magnéticos y sin carga libre
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
[pic] (4)
Aplicandoel rotacional en la ecuación 1
[pic]x [pic]x[pic] = -[pic] (5)
Remplazando la ec(3) en la ec(5) y como [pic][pic][pic] = [pic]
[pic] = -[pic]
como [pic] y [pic]
[pic] -[pic] = 0
De manera análoga aplicando el rotacional a la ecuación 3 encontramos de la misma manera
[pic]
Donde se ha podido desacoplar las ecuaciones en cada uno de los campos, pero se hatenido que pasar de ecuaciones de primer orden a ecuaciones de segundo orden.
De manera general
[pic]
Su solución es la siguiente
[pic] Con [pic]
por lo tanto para las ecuaciones de onda los campos eléctricos y magnéticos
[pic] y [pic]
[pic] y [pic]
en coordenadas cilíndricas
[pic] y [pic]
La simetría de una fibra óptica nos sugiere utilizarcoordenadas cilíndricas.
El [pic] en coordenadas cilíndricas es
[pic]
Las componentes eléctricas del campo eléctrico son las siguientes
[pic]
Y para el campo magnético
[pic]
La ecuación 1 en coordenadas cilíndricas
[pic]
[pic]Para que la igualdad se cumpla cada uno de sus componentes debe ser igual y como [pic] y [pic]
[pic] (5)
[pic](6)
[pic] (7)
De manera análoga para el campo magnético
[pic] (8)
[pic] (9)
[pic] (10)
A partir de las siguientes ecuaciones (5), (6), (7), (8), (9) y (10) se pueden obtener unas expresiones que relacionan las componenteslongitudinales
De la ec. (9)
[pic]
De la ec. (7)
[pic]
Igualando estas dos ultimas ecuaciones
[pic]
[pic]
[pic] ; [pic]
[pic] (11)
De manera similar encontramos
[pic] (12)
[pic] (13)
[pic](14)
Las ecuaciones (11), (12), (13) y (14) en (5) y (8) llegamos a
[pic] (15)
Resolviendo por el método de separación de variables
[pic]
Introduciendo esta ecuación en ec(15)
[pic] (16)
Las condiciones de entorno para las componentes tangenciales
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]Solución para la ecuación de ondas en el núcleo.
La condición impuesta a la constante de propagación en la fibra para que los nodos fuesen guiados
[pic]
Por otra parte [pic] el valor de [pic]en el núcleo de la fibra viene dado por
[pic]
[pic] Si [pic] por lo que la solución de la ecuación diferencial de bessel (16)
[pic]
Donde [pic] y [pic] son constantes y [pic]y [pic] son funciones de bessel de primera y segunda especie respectivamente.
Las soluciones radiales dependen del orden [pic] como es un número entero, la solución a la ecuación de Helmholtz no es única, sino que existen infinitas soluciones, cada una de las cuales dan lugar a un patrón de campo electromagnético transversal a la dirección de propagación.
En cuanto a los campos enel núcleo de la fibra [pic] se considera su comportamiento en las inmediaciones de su eje, cuando [pic], comprobando la forma de las funciones de bessel, [pic] y que la función [pic] diverge cuando [pic] tiende a 0.
Solución de la ecuación de ondas en el revestimiento.
El valor de q en el revestimiento de la fibra [pic]
[pic] Si [pic]
Solución de la ecuación...
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