ondas

Vibración de dos
partículas acopladas
Primavera 2014

Consideraciones
• Los desplazamientos x1 y x2 de las masas desde su
posición de equilibrio se han exagerado por claridad en
lassiguientes figuras, sin embargo son pequeñas en
comparación con la longitud del resorte.
• Los cambios en la tensión original T debidos a estos
desplazamientos pueden ser ignorados en comparación
con laT misma.
• Los efectos de la gravedad son ignorados.

Ecuación de movimiento

• Para la primera masa la ecuación de movimiento está dada
por:

𝑑 2 𝑥1
𝑚 2 = 𝑇 sin 𝜃2 − 𝑇 sin 𝜃1
𝑑𝑡
• Que alsimplificar la notación queda como:

𝑚 𝑥1 = 𝑇 sin 𝜃2 − 𝑇 sin 𝜃1

⋯ 1

• Por lo que para la segunda masa la ecuación queda:

𝑚 𝑥2 = −𝑇 sin 𝜃2 − 𝑇 sin 𝜃3

⋯ 2

• Puesto que los ángulos sonpequeños podemos hacer la
siguiente consideración: sen q ≈ tan q. Por lo que:
•

𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ≅ tan 𝜃1 = x1/a

(3)

𝑠𝑒𝑛 𝜃2 ≅ 𝑥2 − 𝑥1 /𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝜃3 ≅ 𝑥2 /𝑎

• Y las ecuaciones de movimiento quedan dela siguiente forma:

2𝑇𝑥1
𝑇𝑥2
𝑚 𝑥1 +
−
=0
𝑎
𝑎

⋯
2𝑇𝑥2
𝑇𝑥1
𝑚 𝑥2 +
−
=0
𝑎
𝑎

4

• Las soluciones a estas ecuaciones son:
𝑥1 = 𝐴 sin 𝜔𝑡,
… 5
𝑥2 = 𝐵 sin 𝜔𝑡,
• Sustituyendo estosvalores en las ecuaciones de movimiento (4) y
después de cancelar los términos trigonométricos obtendremos:

2𝑇𝐴
𝑇𝐵
−𝑚𝜔 𝐴 +
−
=0
𝑎
𝑎
2

⋯

6

2𝑇𝐵
𝑇𝐴
−𝑚𝜔 𝐵 +
−
=0
𝑎
𝑎
2

•Podemos eliminar la razón A/B entre estas ecuaciones para obtener:
2𝑇
2+
−𝑚𝜔
𝑎

2

𝑇2
= 2
𝑎

… 7

• O bien:
−𝑚𝜔2 +

2𝑇
𝑇
=±
𝑎
𝑎

… 8

• Que al resolver para la frecuenciaangular obtenemos:

𝑇
𝜔 =
𝑚𝑎

3𝑇
𝑜
𝑚𝑎

2

… 9

• Por lo que hay dos frecuencias angulares diferentes con las cuales
este sistema oscila, estas son:
𝜔1 =

𝑇

𝑚𝑎
⋯

𝜔2 =

3𝑇

𝑚𝑎10

• Que al sustituir la primera frecuencia en las ecuaciones de
movimiento obtenemos que A = B

• La amplitud de los movimientos de las masas son los mismos,
y se mueven en fase todo el...