Ondas

PROBLEMAS DE VIBRACIONES Y ONDAS
1º PROBLEMAS DE M.A.S.
PROBLEMAS RESUELTOS
1º Una partícula que realiza un M.A.S. recorre una distancia total de 20 cm en cada vibración completa y
su máxima aceleración es de 50 cm\s2 .
a) ¿ Cuáles son los valores de su amplitud , período y velocidad máxima ?.
b) ¿ En qué posiciones de la trayectoria se consiguen los valores máximos de la velocidad y de laaceleración?.
DATOS
20 cm ( vibración completa )
amax= 50 cm\s2
a)
A = 5cm
4
20 ’
A = 5 cm
a = -ω2x La aceleración es máxima cuando x =A
amax = -ω2 A ⇒ -50 = -5ω2 ⇒ ω2= 10 ⇒ ω = 10 rad \s⇒ T = 1,98s
10
2 2 ’
π
’
ω
π
T = 1,98 s
v = ω A2 − x2 La velocidad es máxima cuando x = 0
vmax =ω A = 10 .5 = 15,8 cm\s2
vmax = 15,8 cm\s2
b)
vmax para x = 0
amax para x = A = 5 cm
2º Unamasa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de
5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g ,la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:
a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte.
b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema
es la misma en ambos casos.
DATOS
m ?f1 = 1 Hz A1 = 5 cm
m2 = m + 0,3Kg f2 = 0,5 Hz
a)
m
k 3,95 N
m 100g
’
’ π ’ π ’
’
’ + ⇒ ’ + ⇒ − ’ ⇒ ’ ⇒ ’ ’
π ’ π +
⇒ ’ π +
π +
’
⇒ ’ π
π
’
π
’
m
k 4 mf 4 0,1.1 3,95 N
m1 (m 0,3)0,5 m 0,25m 0,075 m 0,25m 0,075 0,75m 0,075 m 0,1kg 100g
4 mf 4 (m 0,3)f
k 4 (m 0,3)f
4 (m 0,3)
f k
k 4 mf
4 m
f k
m
k
2
f 1
2 2 2
1
2
2 2
2
2
2 2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
22
1
1
b)
22
m2
2
m1 1
kA
2
E 1
kA
2
E 1
’
’
Si Em1 = Em2 ⇒ A1 = A2 = 5 cm
A1 = A2 = 5 cm
3º Una partícula realiza un M.A.S. con una amplitud de 8 cm y un período de 4 s. Sabiendo que en el
instante inicial la partícula se encuentra en la posición de elongación máxima
a) Determine la posición de la partícula en función del tiempo
b) ¿ Cuáles son los valores de la velocidad y dela aceleración 5 s después de que la partícula pase
por el extremo de la trayectoria ?.
DATOS
A = 8 cm
T = 4 s ⇒ ω =
4 2
2
T
2 π
’
π
’
π
rad\s
Para t = 0 el valor de x = A = 8 cm
a) En función del coseno x = Acos (ωt +ϕ0) = 8.cos t
2
π
En función del seno x = Asen (ωt +ϕ0) = 8.sen ( t
2
π
+
2
π
)
Escogemos en función del coseno x = 8 cos t
2
π (en unidades c.g.s.)
b)Para t = 5s x= 8.cos 5
2
π
= 0
v= ωA = 8 4 cm\ s
2
’ π
π
v = -4π cm\s En sentido hacia la posición de equilibrio
a = -ω2x = 0 a = 0
4º Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de
valor 40 g, tiene un período de oscilación de 2 s.
a) ¿Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idéntico al
primero, paraque la frecuencia de oscilación se duplique ?.
b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, ¿cuánto vale, en cada
caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su
masa?
DATOS
m1 = 4.10-2Kg m2 ?
T1 = 2s ⇒ f1 = 0,5 s ⇒ ω1 = 2π f1 = 3,14 rad\s f2 = 2f1 ⇒ ω2 = 2π f2 = 6,28rad\s
A1 = A2 = A = 10 cm
a)
Si dividimos las dos ecuaciones10 Kg 10g
4f
4.10 f
f
m f
m
m
m
f
f 2
2
1
2
1
2
2
2
2
1 1
2
1
2
2
2
2
1 ’ ⇒ ’ ’ ’ − ’
−
m2= 10 g
b)
Como A1 = A2 =A⇒ EP1max= EP2max
EP1max= EP2 max= KA2
2
1
La velocidad es máxima para x =0
v1max = ω1 A = 3,14.0,1 = 0,314 cm\s v1max = 0,314 cm\s
v2max = ω2 A = 6,28.0,1= 0,628 cm\s v2max =0,628 cm\s
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
4 m
f k
m
k
2
f 1
4 mf k
m
k
2
f 1
π
→ ’
π
’
π
→ ’
π
’
2 2
2 3
PMax
2 2 2 2
1 1
2
v A x
0,39.0.1 1,95.10 J
2
E 1
m
k 4 m f 4 4.10 .0,5 0,39 N
’ ω −
’
’ ’
’ π ’ π ’
−
−
−
E 1,95.10 3J
PMax
PROBLEMAS PROPUESTOS
1º Un M. A.S. tiene una A = 2 cm y un T = 1\3 s. Calcula al cabo de 8,25 s, su elongación, velocidad y
aceleración.
SOLUCIÓN – 2 cm ; 0 ; 0,72π2 cm\s2
2º Halla la ecuación...