OndasEstacionarias06

ONDAS ESTACIONARIAS

FUNDAMENTO
Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos
ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos
opuestos a través de un medio. Pero la onda estacionaria NO ES una onda viajera,
puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma kx-ωt. Por sencillez,
tomaremos como ejemplo para ilustrar laformación de ondas estacionarias el caso de
una onda transversal que se propaga en una cuerda sujeta por sus extremos en el sentido
de izquierda a derecha (→); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una
onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda
reflejada tiene una diferencia de fase de π radianes respecto a la incidente. La
superposición de lasdos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a
ondas estacionarias.
Ecuación de la onda incidente, sentido (→):

y1 = A cos(kx − ωt )

[1a]

Ecuación de la onda reflejada1, sentido (←):

y2 = A cos(kx + ωt + π )

[1b]

En las ecuaciones [1a] y [1b], k representa el número de ondas k = 2π λ y ω es la
frecuencia angular ω = 2π T , siendo λ y T la longitud de onda y el periodo,respectivamente.
El resultado de la propagación simultánea de ambas ondas, incidente y reflejada, es el
siguiente:

y = y1 + y2 = A cos( kx − ωt ) + A cos( kx + ωt + π ) = 2 Asenkxsenωt

1

La onda reflejada cambia su fase en π radianes.

Ondas estacionarias

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[2]

El término senωt representa la dependencia temporal, mientras que 2Asenkx es la
amplitud, la cual obviamente depende de laposición x. Es decir, los distintos puntos de
la cuerda vibran con la misma frecuencia angular ω pero con diferentes amplitudes2.
Significado físico de la superposición expresada por la ecuación [2].
Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis, la vibración en ellos
tiene que ser nula; es decir, si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L, en
los extremos x = 0 y x = Lhan de verificarse en cualquier instante las condiciones
siguientes:
y x = 0 = 2 A sen 0 = 0

y x = L = 2 A sen kL = 0

[3]

De la condición expresada por la ecuación [3] se deduce que:
kL = nπ

(n = entero)

→

2π

λ

L = nπ

→

L=n

λ
2

[4]

La ecuación [4] quiere decir que aparecen ondas estacionarias sólo en aquellos casos
que cumplan la condición de que la longitud de la cuerda sea unmúltiplo entero de la
semilongitud de onda.
En una onda estacionaria se distinguen los puntos nodales (o simplemente nodos), que
son aquellos puntos en que la amplitud es nula, es decir, posiciones donde no hay
vibración; los vientres o antinodos de la onda estacionaria, por el contrario, son los
puntos en donde la vibración se produce con la máxima amplitud posible.
La distancia entre dos nodosconsecutivos es igual a media longitud de onda. En efecto,
un nodo cualquiera, situado en la posición xm, cumple la condición
sen kxm = 0

→

kxm = mπ

→

xm = m

λ
2

donde m toma todos los valores sucesivos m = 1, 2,..., n-1.
La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de
longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación [4]. Ésta se denomina frecuencia

2

Enla siguiente página web puede encontrarse un applet que contiene una buena representación gráfica:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/estacionarias/estacionarias.html#Explicación%20de%20las%20ondas%
20estacionarias%20en%20una%20cuerda

Ondas estacionarias

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fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios
entre sus dos extremos. La siguienteposibilidad en la ecuación [4], el caso n = 2, se
llama segundo armónico, y presenta un nodo intermedio. En la figura 1 aparece una
representación de diversos armónicos.

Figura 1. Armónicos en una cuerda vibrante. Se representan desde el
fundamental (a) hasta el 5º armónico (d). N indica los nodos, A los antinodos.

Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda
En una cuerda de densidad lineal...