Ongitud de arco de grafica de una función

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO TECNOLÓGICO ANTONIO JOSÉ DE SUCRE
BARCELONA- ESTADO ANZOÁTEGUI

Prof.: Manuel López.
BACHILLER:
* VARGAS P., GILBERTO J
C.I.: 13.368.412
TecnologíaMecánica










Barcelona, 03 de Septiembre de 2010
LONGITUD DE ARCO DE GRAFICA DE UNA FUNCIÓN

 Si la derivada de la función  f,  f ', es continua en el intervalo [a, b], se dice que  f  es alisada en dicho intervalo.

 EJEMPLO |

 
| |
|

CENTROIDE DE UNA REGION PLANA

Se conoce como centroide al centro de masa de una región sin masa en un plano.

Seag<=f funciones continuas en [a,b]. El centroide de la región delimitada por y = g(x), y=f(x), x =a, x = b viene dado por:

Donde A es el área de la región.
Un ejemplo de esta aplicación de la integral es:

EJEMPLO

Para hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de f (x)= 4-x2 y g (x)= x+2 tenemos que :

Estas 2 curvas se cortan en (-2,0) y en (1,3), por lo que el áreaes:

El centroide tiene coordenadas:

De donde obtenemos:

ÁREA

Es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos.Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica naturalinducida por la métrica euclídea.
ÀREA CON LÍMITE
Sea  una función cuyo dominio está en el intervalo cerrado , tal que para .
Sea  la región plana limitada por las gráficas de las ecuaciones: , (eje ), , .
 
|
Sea  una partición de  en  subintervalos determinados por el conjunto, con , .
Sea  un aumento de .
Construimos  rectángulos cuyas bases sean los  intervalos de la partición cuyasalturas sean 

 
 
|
El área del -ésimo rectángulo está dada por ; y la suma 

 
de las áreas de los  rectángulos será una aproximación al área de .
Si aumentamos el número de subintervalos, entonces decrece la longitud de cada subintervalo de la partición , obteniéndose una nueva suma que dará una mayor aproximación al área de .
Demos ahora la siguiente definición:
 
  | Definición |  |
Si  para , y si existe un número  tal que dada una , exista  tal que 
para toda partición  de , y todo aumento de  en que , entonces este número  es el área de la región limitada por las gráficas de la ecuación.  |
|

Note que de esta definición se tiene que: 

y si  existe, entonces: 

EJEMPLO

Calculemos el área de la región  limitada por las gráficas de
  , , , .
Solución
Larepresentación gráfica es la siguiente:
  |
 
 
El área del i-ésimo rectángulo es:     
 
La suma de aproximación para el área de  es: 

(En la gráfica anterior se muestra el ésimo rectángulo de la aproximación).
Luego de la definición 5 se tiene que: 

CÁLCULO DE ÁREA ENTRE DOS O MAS CURVAS

Sean  y  dos funciones con dominio en el intervalo , tales que  para .
Vamos a determinarcuál es el área de la región  limitada por las gráficas de que se muestra a continuación:
 
|
 
Construimos un conjunto de rectángulos tales que la suma de sus áreas sea una aproximación al área de .
 
|
Sea  una partición de  en  subintervalos determinados por el conjunto 
 

donde , .
Sea  un aumento de . Construimos  rectángulos cuyos anchos sean los  subintervalos de la...