OostraLogicaTriadicaPeirce
Páginas: 36 (8857 palabras)
Publicado: 5 de septiembre de 2015
La l´ogica tri´adica de Charles S. Peirce∗
Arnold Oostra†
Resumen
En este trabajo se presenta el aporte de Charles S. Peirce a la
l´
ogica proposicional trivalente y el estudio, iniciado a partir de sus
manuscritos, de la simetr´ıa en esa l´ogica.
Entre muchas otras contribuciones y anticipos, en los manuscritos de
C. S. Peirce se encuentran los primeros conectivos proposicionales trivalentesconocidos. Los apuntes de Peirce adem´as sugieren interesantes simetr´ıas,
descubiertas por los primeros investigadores y cuya generalizaci´on puede conducir en un futuro al an´alisis exhaustivo de la simetr´ıa en la l´ogica proposicional trivalente.
En la primera secci´on de este trabajo se exponen con exactitud los aportes
de Peirce a la l´ogica proposicional trivalente y se establece unacomparaci´on
con los trabajos posteriores de Lukasiewicz y Post, reconocidos usualmente
como los pioneros en esta l´ogica. En la segunda secci´on se revisa la simetr´ıa
existente en el sistema de los conectivos proposicionales bivalentes, simetr´ıa
sugerida por una notaci´on propuesta por el mismo Peirce. En la tercera y
u
´ltima secci´on se discuten los estudios adelantados posteriormente sobre lasimetr´ıa en los conectivos trivalentes anotados por Peirce, estudios que en
principio podr´ıan extrapolarse al sistema completo de estos conectivos.
∗
Publicado en las Memorias del XVIII Encuentro de Geometr´ıa y sus Aplicaciones,
Universidad Pedag´
ogica Nacional, Bogot´a, junio 2007.
†
Departamento de Matem´
aticas y Estad´ıstica, Universidad del Tolima.
1
1
L´
ogicas trivalentes
La l´ogicamatem´atica cl´asica o tradicional es bivalente en tanto sus proposiciones pueden tomar solo dos valores de verdad, verdadero o falso. Una
generalizaci´on sencilla y natural, realizada desde comienzos del siglo XX, da
lugar a la l´ogica trivalente que admite tres valores de verdad. Por supuesto,
esto abre una ventana al mundo fascinante de las l´ogicas multivalentes, lo
cual en el vocabulariomatem´atico significa “l´ogicas con m´as de dos valores
de verdad”.
1.1
Las propuestas de Lukasiewicz y Post
La l´ogica proposicional cl´asica conoce diversas presentaciones. Una versi´on
sint´actica consiste en una formalizaci´on de las llamadas reglas de inferencia y se construye de manera recurrente a partir de axiomas y una regla
—modus ponens—. Esta presentaci´on corresponde propiamente a lal´ogica
formal, tambi´en existe una versi´on m´as algebraica o sem´antica. La presentaci´on sem´antica consiste en asignar valores de verdad a las proposiciones
y extender esta asignaci´on a las f´ormulas, buscando luego aquellas que son
verdaderas para cualquier asignaci´on. Lo que podr´ıa considerarse como el
teorema fundamental de la l´ogica proposicional establece la equivalencia de
estas dospresentaciones: los teoremas formales sint´acticos son precisamente
las tautolog´ıas sem´anticas, m´as a´
un, una f´ormula se deduce formalmente de
ciertas premisas si y solo si es consecuencia tautol´ogica de las mismas. Una
exposici´on detallada de estas dos construcciones y de su equivalencia puede
encontrarse en [Caicedo 1990]. Vale la pena mencionar que existen muchas
otras presentaciones de lal´ogica proposicional, como los gr´aficos existenciales alfa de C. S. Peirce que constituyen una aut´entica versi´on gr´afica de
esta l´ogica [Roberts 1973, Zeman 1964, Zalamea 1997].
En la presentaci´on sem´antica de la l´ogica proposicional cl´asica se consideran solo dos valores de verdad, designados mediante las letras V y F o
2
mediante los n´
umeros 1 y 0. En esta versi´on los conectivosfundamentales, a
partir de los cuales se construyen todas las f´ormulas, est´an definidos por las
siguientes matrices o tablas.
¬
∧
V
F
∨
V
F
→ V
F
↔
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
Ya en 1902 Charles Peirce observ´o que la l´ogica bivalente constituye apenas “la hip´otesis m´as simple” [Peirce 1931, §4.250]. Para muchas...
Arnold Oostra†
Resumen
En este trabajo se presenta el aporte de Charles S. Peirce a la
l´
ogica proposicional trivalente y el estudio, iniciado a partir de sus
manuscritos, de la simetr´ıa en esa l´ogica.
Entre muchas otras contribuciones y anticipos, en los manuscritos de
C. S. Peirce se encuentran los primeros conectivos proposicionales trivalentesconocidos. Los apuntes de Peirce adem´as sugieren interesantes simetr´ıas,
descubiertas por los primeros investigadores y cuya generalizaci´on puede conducir en un futuro al an´alisis exhaustivo de la simetr´ıa en la l´ogica proposicional trivalente.
En la primera secci´on de este trabajo se exponen con exactitud los aportes
de Peirce a la l´ogica proposicional trivalente y se establece unacomparaci´on
con los trabajos posteriores de Lukasiewicz y Post, reconocidos usualmente
como los pioneros en esta l´ogica. En la segunda secci´on se revisa la simetr´ıa
existente en el sistema de los conectivos proposicionales bivalentes, simetr´ıa
sugerida por una notaci´on propuesta por el mismo Peirce. En la tercera y
u
´ltima secci´on se discuten los estudios adelantados posteriormente sobre lasimetr´ıa en los conectivos trivalentes anotados por Peirce, estudios que en
principio podr´ıan extrapolarse al sistema completo de estos conectivos.
∗
Publicado en las Memorias del XVIII Encuentro de Geometr´ıa y sus Aplicaciones,
Universidad Pedag´
ogica Nacional, Bogot´a, junio 2007.
†
Departamento de Matem´
aticas y Estad´ıstica, Universidad del Tolima.
1
1
L´
ogicas trivalentes
La l´ogicamatem´atica cl´asica o tradicional es bivalente en tanto sus proposiciones pueden tomar solo dos valores de verdad, verdadero o falso. Una
generalizaci´on sencilla y natural, realizada desde comienzos del siglo XX, da
lugar a la l´ogica trivalente que admite tres valores de verdad. Por supuesto,
esto abre una ventana al mundo fascinante de las l´ogicas multivalentes, lo
cual en el vocabulariomatem´atico significa “l´ogicas con m´as de dos valores
de verdad”.
1.1
Las propuestas de Lukasiewicz y Post
La l´ogica proposicional cl´asica conoce diversas presentaciones. Una versi´on
sint´actica consiste en una formalizaci´on de las llamadas reglas de inferencia y se construye de manera recurrente a partir de axiomas y una regla
—modus ponens—. Esta presentaci´on corresponde propiamente a lal´ogica
formal, tambi´en existe una versi´on m´as algebraica o sem´antica. La presentaci´on sem´antica consiste en asignar valores de verdad a las proposiciones
y extender esta asignaci´on a las f´ormulas, buscando luego aquellas que son
verdaderas para cualquier asignaci´on. Lo que podr´ıa considerarse como el
teorema fundamental de la l´ogica proposicional establece la equivalencia de
estas dospresentaciones: los teoremas formales sint´acticos son precisamente
las tautolog´ıas sem´anticas, m´as a´
un, una f´ormula se deduce formalmente de
ciertas premisas si y solo si es consecuencia tautol´ogica de las mismas. Una
exposici´on detallada de estas dos construcciones y de su equivalencia puede
encontrarse en [Caicedo 1990]. Vale la pena mencionar que existen muchas
otras presentaciones de lal´ogica proposicional, como los gr´aficos existenciales alfa de C. S. Peirce que constituyen una aut´entica versi´on gr´afica de
esta l´ogica [Roberts 1973, Zeman 1964, Zalamea 1997].
En la presentaci´on sem´antica de la l´ogica proposicional cl´asica se consideran solo dos valores de verdad, designados mediante las letras V y F o
2
mediante los n´
umeros 1 y 0. En esta versi´on los conectivosfundamentales, a
partir de los cuales se construyen todas las f´ormulas, est´an definidos por las
siguientes matrices o tablas.
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V
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F
→ V
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Ya en 1902 Charles Peirce observ´o que la l´ogica bivalente constituye apenas “la hip´otesis m´as simple” [Peirce 1931, §4.250]. Para muchas...
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