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5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V W una transformación lineal.Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

Nota en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector ceroen W.
i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Asia 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)
ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.
iii.Esta parte se prueba por inducción (veael apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α1v1+ α2v2+ ….+ αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se queríademostrar. Esto completa la prueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completamentedeterminadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2 Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,v2,….vn}. Sean w1,w2,….wn vectores en W. Suponga que T1 y T2son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…,n. Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2.
Como B es una base para V, existe unconjunto único de escalares α1, α2,…., αn. Tales que v = α1v1 + α2v2 + …+ αn vn.

Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T1v = T1(α1 v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2+…+ αnTnvn

De manera similar T2v = T2(α1v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn = α1w1 + α2w2 +…+ αnvn

Por lo tanto, T1v =T2v.

El...